Неравенство ломаной

Обозначим за длины ребер многогранника, а за — сумму длин всех ребер многогранника. Каждое ребро многогранника входит в две грани, которые являются многоугольниками. Отсюда следует, что для каждого ребра имеется как минимум два непересекающихся набора других ребер, длины которых в сумме больше, чем длина этого ребра (по неравенству многоугольника). Это значит, что длина каждого ребра многогранника всегда меньше, чем а значит, сумма длин всех ребер, кроме одного, всегда больше, чем Теперь запишем сумму дробей из условия и заменим в каждой дроби знаменатель на — от этого сумма строго увеличится, но станет равной

Так как сумма любого -угольника равна то сумма углов любого шестиугольника, не обязательно выпуклого, равна Поэтому из условия следует, что что, в свою очередь, влечет равенство треугольников и по двум сторонам и углу между ними. Так как углы и равны, а четырехугольник — вписанный. Хорды и его описанной окружности равны, поэтому является равнобокой трапецией.

Пусть, без ограничения общности, Отразим точки и относительно середин и отрезков и соответственно, получим точки и Параллелограммы и равны, поэтому

Отсюда делаем вывод, что Расстояние от точки до прямой равно что равно расстоянию от точки до прямой На то же расстояние удалены точки и от прямой поэтому четырехугольник является равнобокой трапецией с основаниями и параллельными прямой (и, соответственно, и ). Кроме того, отрезок является общей средней линией для трапеций и и его длина равна Но в отрезок является диагональю, которая всегда длиннее, чем средняя линия, если трапеция невырождена. Равенство возможно только если и обе попали на прямую и является вырожденной трапецией.

Обозначим через и середины отрезков и Тогда — средняя линия в треугольнике а — в треугольнике Следовательно, Аналогично Таким образом, точки лежат в одной плоскости, причём из условия следует, что — прямоугольник. Значит, равны его диагонали и

Заметим, что

по неравенству ломаной, остаётся вычесть из обеих частей.

Начертим четырёхугольник симметричный четырёхугольнику относительно точки и отметим соответствующие точки и Заметим, что так как — тупой по условию, а - середина отрезка то есть находится в той же полуплоскости относительно серединного перпендикуляра к что и точка Также заметим, что так как симметричен относительно точки то Далее продлим на свою длину — точка Отметим на точку так, что

Аналогично отрезкам можем получить, что (так как - тупой по условию). Так как и ( — параллелограмм). Таким образом, для пятиугольника можем выписать неравенство:

Так как получаем, что:

Значит,

Обозначим вершину угла через . Отразим точку относительно сторон угла, обозначив полученные две точки через и .

Рассмотрим произвольные точки и на сторонах угла. Заметим, что в силу симметрии , . Поэтому периметр треугольника равен длине ломаной . Длина этой ломаной не меньше длины отрезка , и равенство возможно только когда точки и лежат на отрезке . Поэтому в качестве точек и таких, чтобы периметр треугольника был наименьшим, необходимо выбрать точки пересечения отрезка со сторонами угла.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Условие, что исходный угол острый, важно: если бы был тупым, то построенный отрезок не пересекался бы со сторонами угла, а если бы был прямым, то пересекался бы в точке . В качестве упражнения докажите, что в обоих этих случаях в качестве точек и необходимо выбрать точку , таким образом, периметр вырожденного треугольника является наименьшим из возможных.

Лемма. Пусть и — середины сторон и четырехугольника . Тогда

Доказательство. Пусть — середина диагонали Тогда

По неравенству треугольника для треугольника имеем:

после подстановки полученных равенств:

что завершает доказательство.

Вернемся к решению задачи. Пусть и — середины сторон и

По лемме Ясно, что длина медианы, проведенной из вершины при неостром угле, не превосходит половины стороны, к котором она проведена, следовательно и Осталось заметить, что по неравенству ломанной верно неравенство

Подставляя полученные неравенства имеем

домножив данное неравенство на получим требуемое.

Повернём вокруг точки против часовой стрелки на 20 градусов, получим . Сделаем такой же поворот для , получим .

Заметим, что — равносторонний. Запишем неравенство для ломаной :

Первое решение.

(везде ниже единицы измерения — сантиметры)

Из первого условия Сведём задачу к неравенству ломаной. Для этого отразим квадрат относительно ( а затем относительно ( Легко видеть, что Далее отразим относительно в точку Можно считать, что точку мы ранее также отражали относительно потому По неравенству ломаной Отрезок фиксирован, потому достаточно посчитать длину (нетрудно видеть, что минимум достигается подбором точек и Используем теорему Пифагора (“проекция на ”) и откуда

Второе решение.

Введём систему координат с центром в точке ось направим вдоль ось вдоль возьмём за единицу измерения см. Обозначим координату точки по оси за координату точки по оси — за Тогда по теореме Пифагора периметр четырёхугольника равен

Отметим точки с соответствующими им координатами: По неравенству ломаной

причём равенство достигается при

Итак, минимальный периметр равен

Первое решение.

Из графика квадратного трехчлена видим, что либо и расположены на числовой оси симметрично относительно точки — абсциссы вершины параболы, т.е при Но для многоугольника поэтому Тогда значит,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Переформулируем задачу в непрерывном виде , тогда нашлось такое (, что , то есть

Может ли быть так, что ? Нет, поскольку в многоугольнике хотя бы 3 стороны и выполнено неравенство ломаной — если вычесть из обеих частей , то остальные стороны будут образовывать ломаную, соединяющую начало и конец стороны, что соответствует длине . Но тогда , далее , но подставляя это аналогично (*), получим , что выполнено из , что и требовалось.