Неравенство ломаной

Обозначим вершину угла через . Отразим точку относительно сторон угла, обозначив полученные две точки через и .

Рассмотрим произвольные точки и на сторонах угла. Заметим, что в силу симметрии , . Поэтому периметр треугольника равен длине ломаной . Длина этой ломаной не меньше длины отрезка , и равенство возможно только когда точки и лежат на отрезке . Поэтому в качестве точек и таких, чтобы периметр треугольника был наименьшим, необходимо выбрать точки пересечения отрезка со сторонами угла.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Условие, что исходный угол острый, важно: если бы был тупым, то построенный отрезок не пересекался бы со сторонами угла, а если бы был прямым, то пересекался бы в точке . В качестве упражнения докажите, что в обоих этих случаях в качестве точек и необходимо выбрать точку , таким образом, периметр вырожденного треугольника является наименьшим из возможных.