Неравенство ломаной
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В четырёхугольнике 
углы 
и 
— не острые. На сторонах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно.
Докажите, что периметр четырёхугольника 
не меньше удвоенной длины диагонали 
Подсказка 1
Попробуем доказать, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, не больше полусуммы противоположных сторон!
Подсказка 2
Оценивать длины отрезков, пересекающих AC, сложно. Поэтому попробуем использовать доказанное неравенство, отметим середины противоположных сторон во внутреннем четырехугольнике.
Подсказка 3
Попробуем использовать то, что углы A и C - не острые. Если P и Q - середины сторон KN и LM, то что можно сказать о длинах AP и CQ?
Подсказка 4
Длина медианы, проведенной из вершины при неостром угле, не превосходит половины стороны, к которой она проведена! Значит, мы можем оценить AP и CQ, а после - использовать неравенство ломаной, чтобы оценить AC!
Лемма. Пусть 
и 
— середины сторон 
и 
четырехугольника 
. Тогда 
Доказательство. Пусть 
— середина диагонали 
Тогда 
По неравенству треугольника для треугольника 
имеем:
после подстановки полученных равенств:
что завершает доказательство.
Вернемся к решению задачи. Пусть 
и 
— середины сторон 
и 
По лемме 
Ясно, что длина медианы, проведенной из вершины при неостром угле, не превосходит половины
стороны, к котором она проведена, следовательно 
и 
Осталось заметить, что по неравенству ломанной верно
неравенство
Подставляя полученные неравенства имеем
домножив данное неравенство на 
получим требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
