Вписанная и вневписанная окружности

Рассмотрим такое расположение точек, где точка лежит на большей дуге Тогда получится треугольник для которого мы должны найти геометрическое место точек где будет лежать центр вневписанной окружности. Сначала рассмотрим вневписанную окружность противоположную углу Так как центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе противоположного ей угла, то проведем биссектрису Согласно лемме о трезубце где — точка пересечения биссектрис.

Так как то точка — фиксированная и не зависит от положения точки Тогда центр вневписанной окружности () будет лежать на большей дуге ограниченной прямыми и окружности с центром в точке и радиусом

Аналогично со случаем, где точка лежит на меньшей дуге

Теперь рассмотрим случаи вневписанных окружностей, противоположных углам и Аналогично со случаем вневписанной окружности, противоположной углу воспользуемся леммой о трезубце и найдем положения центров. Как следствие из внешней леммы о трезубце, и лежат на одной окружности с центром в точке Заметим что значит т. лежит на середине большей дуги и окружность совпадает с окружностью из случая с т.

Аналогично находим геометрическое место точек для случая, когда т. лежит на меньшей дуге И получаем ответ: