Вписанная и вневписанная окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На периметре треугольника 
выбраны точки 
так, что при обходе периметра точки встречаются в
порядке 
Оказалось, что
Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых 
и 
равны.
Источники:
Начнём со следующей полезной леммы.
Лемма. Пусть точки 
и 
выбраны соответственно на сторонах 
и 
параллелограмма 
так, что 
Тогда точка 
равноудалена от прямых 
и 
Доказательство. Поскольку 
и 
имеем 
Так как 
отсюда и следует, что
расстояния от точки 
до прямых 
и 
равны.
.png)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перейдём к решению. Пусть прямые из условия образуют треугольники 
и 
(точки обозначены как на рис.). Выберем
точку 
так, что 
— параллелограмм; согласно лемме, точка 
равноудалена от прямых 
и 
; значит,
существует окружность с центром 
касающаяся этих прямых в некоторых точках 
и 
соответственно. Тогда из равенств
отрезков касательных вытекает, что
Аналогично получаем, что 
и 
Складывая полученные три равенства, получаем
требуемое равенство периметров.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
