Вписанная и вневписанная окружности
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали выпуклого четырёхугольника 
перпендикулярны и пересекаются в точке 
Центры вписанных окружностей
треугольников 
являются вершинами выпуклого четырёхугольника, периметр которого равен
Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников 
не превосходит
Источники:
Подсказка 1.
В задаче надо сравнить два странных выражения. Давайте постепенно выражать их через более понятные отрезки. Начнём с суммы радиусов вписанных окружностей. Что можно заметить про треугольники, в которые вписаны наши окружности?
Подсказка 2.
Правильно! Они прямоугольные! Попробуйте вспомнить (или вывести), как выражается радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника через его стороны.
Подсказка 3.
На самом деле радиус вписанной окружности треугольника AOB равен (OA + OB − AB)/2. Что получится, если сложить все четыре радиуса? Попробуйте выразить сумму только через отрезки, содержащие вершины четырёхугольника ABCD.
Подсказка 4.
Правильно! AC + BD - P/2, где P — периметр ABCD. Теперь хотелось бы получить похожее выражение для P. На самом деле отрезки между центрами вписанных окружностей посчитать хорошо, скорее всего, не получится, но можно оценить их длину снизу. Как это сделать?
Подсказка 5.
Стоит заметить, что у соседних вписанных окружностей есть общая касательная. Это может помочь в оценке?
Подсказка 6.
Да! На самом деле расстояние между центрами можно оценить через длину общей внешней касательной, которую уже несложно выразить через стороны исходного четырёхугольника ABCD. Попробуйте это сделать и сравнить с тем, что мы получили в сумме радиусов вписанных окружностей.
В прямоугольном треугольнике 
радиус вписанной окружности равен
(что также равно расстоянию от вершины прямого угла до точки касания катета со вписанной окружностью). Складывая это равенство с
аналогичными для треугольников 
получаем, что сумма 
радиусов вписанных окружностей треугольников 
равна
Пусть вписанные окружности треугольников 
и 
имеют центры 
и касаются стороны 
в точках 
и 
соответственно. Поскольку 
— проекция 
на прямую 
имеем
Сложим это неравенство с аналогичными для расстояний между другими парами центров вписанных окружностей треугольников 
Получим оценку на периметр 
:
Сравнивая с выражением для 
получаем требуемое неравенство 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
