Вписанная и вневписанная окружности

Для начала рассмотрим точку пересечения и Пусть пересекает в

Воспользуемся леммой о том, что точки касания вписанной и вневписанной окружности симметричны относительно середины стороны касания. Откуда Также вспомним другую лемму: отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противоположной стороны, параллелен отрезку, соединяющему центр вписанной окружности с серединой соответствующей стороны. То есть Отсюда, — средняя линия треугольника Это значит, что

Рассмотрим треугольник Отрезки и — медианы этого треугольника. Получается, они пересекаются в точке, которая делит в отношении от вершины Однако, точка делит в этом же отношении как точка пересечения медиан треугольника Отсюда, и пересекаются в тогда пересекает в

Итак, прямые и пересекаются в одной точке — в середине отрезка