Вписанная и вневписанная окружности
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть дан треугольник 
вписанная окружность 
с центром в 
которого касается сторон 
и 
в точках 
, 
и
Обозначим через 
середину стороны 
Обозначим через 
точку касания вневписанной окружности, лежащей напротив
точки 
с прямой 
Аналогично введем середины 
и 
сторон 
и 
и центры вневписанных окружностей 
и 
Докажите, что прямые 
пересекаются в одной точке.
По лемме: отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вписанной окружности на противоположной стороне, параллелен
отрезку, соединяющему середину этой стороны с центром соответствующей вневписанной окружности. Тогда 
Сначала докажем, что 
и 
пересекаются в одной точке. Если это так, то по теореме Чевы для треугольника 
и
точек 
выполнено:
Так как отрезки касательных равны, то 
Значит, 
и 
действительно
пересекаются в одной точке.
Рассмотрим треугольник 
он образован средними линиями треугольника 
а, значит, подобен ему. Следовательно
Продлим 
до пересечения с 
в точке 
Так как 
и 
то
Получается, что в подобных треугольниках отрезки 
и 
составляют равные углы со сторонами, а,
значит, и отношения, в котором эти отрезки делят стороны 
и 
совпадает.
Проведем аналогичные рассуждения для точек 
и 
продлив 
и 
Отношения, в которых эти прямые делят стороны
треугольника 
совпадают с отношениями, в которых 
и 
делят треугольник 
Тогда по обратной теореме Чевы
эти прямые пересекаются в одной точке.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
