Вписанная и вневписанная окружности

Ясно, что треугольник можно перевести гомотетий в серединный треугольник Центром этой гомотетии (неподвижной точкой) является точка пересечения медиан треугольника ведь медианы серединного треугольника пересекаются тоже в точке Коэффициент этой гомотетии равен то есть сначала надо стороны треугольника уменьшить в два раза, а потом сделать центральную симметрию относительно Куда перейдёт точка при этой гомотетии? С одной стороны, в центр вписанной в серединный треугольник окружности. С другой стороны, по определению это будет такая точка на прямой что Получаем, что на прямой Нагеля для серединного треугольника нашлась такая точка что Значит, для серединного треугольника точка является точкой Нагеля, а прямая — нагелианой. То есть является точкой касания вневписанной окружности треугольника

Так как в треугольнике точки касания вписанной и вневписанной окружности изотомически сопряжены, то при центральной симметрии (гомотетии с коэффициентом ) относительно середины точка перейдёт в точку касания вписанной в треугольник окружности. Значит, тогда является точкой касания вписанной окружности уже для треугольника (при симметрии точка переходит в точку ).

Осталось рассмотреть гомотетию с центром в точке и коэффициентом — переходит в откуда будет являться точкой касания вписанной окружности то есть как радиус, проведённый в точку касания.