Вписанная и вневписанная окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— середины сторон треугольника 
— центр вписанной в него окружности. 
— точка пересечения
прямых 
и 
— точка пересечения прямых 
и 
Докажите, что прямая 
перпендикулярна прямой
Подсказка 1
Попробуем пойти с конца в этой задаче. Если нужно доказать, что IC₃ перпендикулярна AB, то как это можно переформулировать, зная, что I-центр вписанной окружности?
Подсказка 2
Да, можно доказывать не утверждение задачи, а то, что C₃ - точка касания вписанной окружности. Но точка C₃ плохо подвязана к нашей картинке, так как понятно как-то связана с ней, только середина AB и C₂. Как нам от этого уйти?
Подсказка 3
Верно, нужно перекинуть эту точку в этом треугольнике на какой-то другой треугольник, который подобен нашему и в нем свойства C₃ понятным образом перекидываются на свойства той точки в новом треугольнике. Какой это треугольник?
Подсказка 4
Конечно, это треугольник СA₁B₁. Он гомотетичен (подобен) нашему треугольнику ABC. При этом точка C₂ также является точкой касания вписанной окружности(в силу гомотетии), по предположению. Значит, нам нужно доказывать именно это.
Подсказка 5
Действительно, в силу параллельности и свойств вписанной окружности, можно посчитать отрезки A₁C₂ и C₂B₁. Если AB=a,BC=b,CA=c; то A₁С₁=с/2, C₁B₁=b/2. При этом, по лемме, A₁С₁+A₁C₂+С₁C₂=С₁C₂+C₂B₁+C₁B₁. А также, A₁C₂+C₂B₁=a/2. Чему тогда равны отрезки A₁C₂ и C₂B₁? Что это дает?
Подсказка 6
Дает это то, что A₁C₂=(p-c)/2 и C₂B₁=(p-b)/2. Значит, C₂ — точка касания вписанной в треугольник СA₁B, окружности. А из этого (если перечитать подсказки) следует требуемое в задаче.
Ясно, что треугольник 
можно перевести гомотетий в серединный треугольник 
Центром этой гомотетии (неподвижной
точкой) является точка пересечения медиан 
треугольника 
ведь медианы серединного треугольника пересекаются тоже в точке
Коэффициент этой гомотетии равен 
то есть сначала надо стороны треугольника уменьшить в два раза, а потом сделать
центральную симметрию относительно 
Куда перейдёт точка 
при этой гомотетии? С одной стороны, в центр вписанной в серединный
треугольник окружности. С другой стороны, по определению это будет такая точка 
на прямой 
что 
Получаем, что
на прямой Нагеля 
для серединного треугольника нашлась такая точка 
что 
Значит, для серединного треугольника
точка 
является точкой Нагеля, а прямая 
— нагелианой. То есть 
является точкой касания вневписанной окружности
треугольника 
Так как в треугольнике точки касания вписанной и вневписанной окружности изотомически сопряжены, то при центральной симметрии
(гомотетии с коэффициентом 
) относительно середины 
точка 
перейдёт в точку 
касания вписанной в треугольник
окружности. Значит, тогда 
является точкой касания вписанной окружности уже для треугольника 
(при симметрии
точка 
переходит в точку 
).
Осталось рассмотреть гомотетию с центром в точке 
и коэффициентом 
— 
переходит в 
откуда 
будет являться точкой касания вписанной окружности 
то есть 
как радиус, проведённый в точку
касания.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
