Вписанная и вневписанная окружности

Пусть и – точки касания прямой соответственно с вписанной и вневписанной окружностями. Элементарно выводится, что . Сделаем гомотетию с центром в точке и коэффициентом, равным отношению радиусов вписанной и вневписанной окружностей, при которой перейдёт в . Тогда точка касания вневписанной окружности отрезка (эта окружность стала вписанной для ) естественно лежит на прямой , соединяющей центр гомотетии с прообразом точки . Отсюда и (радиус вневписанной окружности), тогда , как средняя линия в . При этом , потому что обе эти прямые перпендикулярны . Значит, — параллелограмм по определению, поэтому .