Вписанная и вневписанная окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность 
прямоугольного треугольника 
касается окружности, проходящей через середины его
сторон, в точке 
Из середины 
гипотенузы 
проведена касательная 
к 
отличная от 
Докажите, что
.
Подсказка 1
Какое естественное условие эквивалентно равенству отрезков CE и CF?
Подсказка 2
Докажите, что достаточно показать, что прямые CE и CF симметричны относительно биссектрисы угла и точки E и F являются соответственно вторыми точками пересечения прямых CE и CF с окружностью. Что можно сказать про прямую CF? Через какие хорошие точки она проходит?
Подсказка 3
Окружность, которая проходит через середины сторон треугольника, так же содержит вершину A. Куда перейдет точка F под действием гомотетии с коэффициентом 2?
Подсказка 4
В точку касания описанной окружности треугольника ABC и полувписанной, соответствующей вершине C. Что в этом случае можно сказать про прямую, симметричную прямой CF относительно биссектрисы угла C?
Подсказка 5
Она проходит через точку S касания гипотенузы с полувписанной окружностью. Таким образом, осталось проверить, что точки, S, E, C лежат на одной прямой. Что можно сказать, про треугольник SEC?
Подсказка 6
Он является прямоугольным. Тогда прямая SE пересекает вписанную окружность в точке T, диаметрально противоположной точке D. Наконец, докажите, что точки C, T и S лежат на одной прямой (этот факт верен для произвольного треугольника).
При гомотетии с центром 
и коэффициентом 2 точка 
перейдет в точку касания описанной и полувписанной окружностей
треугольника. Поэтому прямая 
симметрична относительно биссектрисы угла 
прямой, проходящей через точку касания гипотенузы
с вневписанной окружностью. Пусть вписанная и вневписанная окружности касаются гипотенузы в точках 
и 
соответственно. Так как
, получаем, что 
, т.е. прямая 
проходит через точку 
диаметрально противоположную 
. Но прямая
также проходит через эту точку, следовательно, 
лежит на 
и симметрична 
относительно биссектрисы угла
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
