Вписанная и вневписанная окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определение. Антисерединным треугольником для треугольника 
называется треугольник, в котором 
является серединным
треугольником.
(a) На сторонах 
и 
параллелограмма 
выбраны точки 
и 
соответственно так, что 
Докажите, что
точка пересечения отрезков 
и 
лежит на биссектрисе угла 
(b) Используя пункт (a), докажите, что точка Нагеля существует и является центром вписанной окружности антисерединного
треугольника для треугольника 
(c) Используя первые два пункта, получите другое доказательство существования прямой Нагеля.
Подсказка 1:
С доказательством пересечения трёх прямых в одной точке хорошо справляется теорема Чевы.
Подсказка 2:
Предположите, что AC_1 и CA_1 - нагелианы в треугольнике ABC. Как тогда связана прямая DJ с серединным треугольником?
Подсказка 3:
Попробуйте с помощью гомотетии перевести треугольник ABC в его серединный.
(a) Пусть 
По теореме Чевы для треугольника 
и точки
Воспользуемся 
подобиями: 
и 
Получаем, что точка 
делит сторону 
в отношении сторон 
и 
Значит, 
— биссектриса треугольника
.png)
(b) Если в предыдущем пункте предположить, что 
и 
нагелианы треугольника 
(условие, что 
сохраняется из свойств вневписанных окружностей), то 
— точка Нагеля 
а 
— биссектриса антисерединного треугольника.
Тогда задача сводится к решению пункта (a) для трех возможных параллелограммов, построенных на двух сторонах треугольника
.png)
(c) Рассмотрим гомотетию, переводящую треугольник 
в его антисерединный треугольник. Центр этой гомотетии,
очевидно, будет в точке пересечения медиан треугольника 
При этой гомотетии инцентр 
перейдет в инцентр
антисерединного треугольника. Но по предыдущему пункту мы знаем, что инцентр антисерединного треугольника — точка
Нагеля 
Тогда и получается, что точка Нагеля, инцентр треугольника и точка пересечения медиан лежат на одной
прямой.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
