Вписанная и вневписанная окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
— точка на стороне 
треугольника 
Окружности, вписанные в треугольники 
и 
касаются
тогда и только тогда, когда 
совпадает с точкой касания вписанной окружности треугольника 
со стороной
Подсказка 1, пункт а
Давайте подумаем, что надо сделать, чтобы доказать, что окружности касаются в одной точке, если известно, что они касаются одной и той же прямой.
Подсказка 2, пункт а
Верно! Показать, что касаются этой прямой именно в одной и той же точке! Но как показать это…?
Подсказка 3, пункт а
Необходимо и достаточно показать равенство отрезков касательных. А чему они равны, зная стороны треугольников?
Подсказка 1, пункт b
Для начала надо понять, что такое точка B₁ и новые вписанные окружности. Изначально точка B₁ лежала на стороне AC, тогда где она будет лежать теперь?
Подсказка 2, пункт b
Верно! Теперь точка B₁ будет лежать на продолжении стороны AC. Тогда касание каких окружностей нам надо доказать?
Подсказка 3, пункт b
Теперь нам надо доказать касание вписанных в треугольники окружностей △ABB₁ и △CBB₁.
Подсказка 4, пункт b
Аналогично пункту (а), чтобы доказать касание таких окружностей, надо показать равенство отрезков касательных. Снова выразим их через длины сторон треугольников.
(a) Окружности, вписанные в треугольники 
и 
могут касаться только в случае, если касаются их общей касательной 
в
одной точке. Обозначим точки касания окружностей, вписанных в 
и 
за 
и 
тогда критерий касания
окружностей это равенство отрезков 
то есть равенство 
то есть
которое справедливо для единственной точки на отрезке 
— точки касания вписанной окружности
.png)
(b) Формулировка:
Пусть 
— точка на продолжении стороны 
треугольника 
Окружности, вписанные в треугольники 
и 
касаются тогда и только тогда, когда 
совпадает с точкой касания вневписанной окружности треугольника 
со стороной
Доказательство:
Скажем 
лежит на продолжении стороны 
за точку 
(случаи симметричны). Окружности, вписанные в треугольники 
и 
могут касаться только в случае, если касаются их общей касательной 
в одной точке. Обозначим точки касания
окружностей, вписанных в 
и 
за 
и 
тогда критерий касания окружностей это равенство отрезков
то есть равенство 
то есть 
которое
справедливо для единственной точки на продолжении отрезка 
за точку 
— точки касания вневписанной окружности
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
