Вписанная и вневписанная окружности

(a) Окружности, вписанные в треугольники и могут касаться только в случае, если касаются их общей касательной в одной точке. Обозначим точки касания окружностей, вписанных в и за и тогда критерий касания окружностей это равенство отрезков то есть равенство то есть которое справедливо для единственной точки на отрезке — точки касания вписанной окружности

(b) Формулировка:

Пусть — точка на продолжении стороны треугольника Окружности, вписанные в треугольники и касаются тогда и только тогда, когда совпадает с точкой касания вневписанной окружности треугольника со стороной

Доказательство:

Скажем лежит на продолжении стороны за точку (случаи симметричны). Окружности, вписанные в треугольники и могут касаться только в случае, если касаются их общей касательной в одной точке. Обозначим точки касания окружностей, вписанных в и за и тогда критерий касания окружностей это равенство отрезков то есть равенство то есть которое справедливо для единственной точки на продолжении отрезка за точку — точки касания вневписанной окружности