Антипараллельность

(a) Первое решение. Далее за будем обозначать центр описанной окружности треугольника Заметим, что прямые и являются серединными перпендикулярами к отрезкам и соответственно. Следовательно, угол между прямыми и равен углу между серединными перпендикулярами к этим отрезкам, то есть углу Аналогично угол равен углу между прямыми и Так как углы между прямыми и прямыми равны по условию, получаем, что Откуда и следует искомая вписанность.

Второе решение. Докажем более общее утверждение

Лемма. Прямые и прямые и антипараллельны относительно некоторого угла. Тогда точки, образованные в пересечение разноимённых прямых (т.е. , и т.д.), образуют вписанный четырёхугольник.

Доказательство. При симметрии относительно биссектрисы данного угла прямые и перейдут в прямые, которые параллельны прямым и соответственно. Таким образом, углы и равны, поскольку равны углы, образованные парами параллельных прямых.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к доказательству исходной задачи. Заметим, что серединные перпендикуляры к и антипараллельны относительно угла так как образуют прямые углы с сторонами угла. Также серединные перпендикуляры к и антипараллельны относительно угла поскольку образуют со сторонами углы, которые равны Таким образом, в силу доказанной леммы, утверждение исходной задачи верно.

(b) Обозначим за и основания перпендикуляров из точки , а за и основания перпендикуляров из точки на прямые и соответственно. Заметим, что четырёхугольники и вписанные. Следовательно,

Тогда

то есть четырёхугольник — вписанный, что и требовалось.