Антипараллельность
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Докажите, что продолжение перпендикуляра из точки пересечения диагоналей к одной из сторон делит противоположную сторону пополам.
Подсказка 1
Нам нужно доказать, что некоторая чевиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, является медианой. Но работать с отрезками, которые не лежат в одном треугольнике, не удобно, поэтому давайте будем доказывать, что треугольник, который отсекает эта чевиана, равнобедренный (и второй тоже, аналогично). Как это можно сделать?
Подсказка 2
Нужно показать, что его углы при основании равны! Первый из углов легко переносится по вписанности, а второй?
Подсказка 3
Второй угол легко считается из конструкции "высота в прямоугольном треугольнике", и мы получаем равенство углов, которое и было нужно!
Назовём этот четырёхугольник 
точку пересечения диагоналей обозначим через 
и пусть прямая 
перпендикулярна 
и
пересекает сторону 
в точке 
Первое решение.
Поскольку 
, то 
. Поскольку 
(где 
является высотой в прямоугольном
треугольнике 
, то 
, как вертикальные, откуда 
будет медианой в прямоугольном
треугольнике.
Второе решение.
Прямые 
и 
антипараллельны относительно угла 
а высота 
прямоугольного треугольника 
как известно,
является также симедианой в этом треугольнике, соответственно делит антипараллельный отрезку 
отрезок 
пополам.
Замечание.
Указанный в задаче факт известен как “теорема Брахмагупты”. Но так задача заключается в том, чтобы доказать напрямую это утверждение, не следует просто так ссылаться на эту теорему! Решение “по теореме Брахмагупты задача очевидна” будет оценено в 0 баллов!
по теореме Брахмагупты задача очевидна
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
