Лемма о трезубце
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
На продолжениях сторон 
и 
за точку 
взяты точки 
и 
соответственно так, что
Докажите, что описанные окружности треугольников 
и 
пересекаются на биссектрисе угла
Источники:
Подсказка 1
В данной задаче нужно есть много "равноправных" объектов, поэтому полезно рассматривать только точку A₁ и описанную окружность треугольника ABA₁, а про точку C₁ и описанную окружность треугольника CBC₁ пока забыть, чтобы не загромождать картинку. Потом про них можно будет сделать аналогичные выводы.
Подсказка 2
Итак, нам нужно доказать, что две окружности пересекаются на биссектрисе. Обычно в подобных случаях полезно "угадать" точку, в которой они пересекаются. Какие есть "хорошие" точки на биссектрисе?
Подсказка 3
Центр I вписанной окружности! Давайте будем доказывать, что окружности пересекаются в точке I. Для этого нам достаточно всего лишь доказать вписанность AA₁BI.
Подсказка 4
Это можно сделать либо счетом углов, либо через лемму о трезубце.
Первое решение.
Обозначим точку пересечения биссектрис 
По лемме о трезубце центр описанной окружности треугольника 
совпадает с серединой дуги 
описанной окружности треугольника 
Следовательно, эта окружность пересекает
сторону 
в точке, симметричной точке 
то есть в 
Аналогично, описанная окружность треугольника 
проходит через точку 
Следовательно, описанные окружности треугольников 
и 
пересекаются в точке
.png)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Обозначим точку пересечения биссектрис 
Заметим, что 
из равнобедренности треугольника 
С другой стороны,
Очевидно, что точки 
и 
находятся по разные стороны от 
и 
поэтому точка 
лежит на окружности
Аналогично, она лежит на окружности 
и значит, описанные окружности треугольников 
и 
пересекаются на
биссектрисе угла 
в точке 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
