Лемма о трезубце
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
построена точка 
, симметричная центру 
вписанной окружности относительно центра 
описанной
окружности. Докажите, что
где 
– радиус описанной окружности треугольника 
Источники:
Подсказка 1
Нас просят доказать какое-то тождество, связанное с квадратом диаметра. Было бы разумно нарисовать его на картинке. Наверное, надо будет провести диаметр AP, т.к. наша задача крутится вокруг точки A. Что мы можем сказать про четырехугольник ADPI...
Подсказка 2
Это параллелограмм. Действительно, IO=OD по условию, а AO=OP как радиусы. Тогда AD=IP. Пускай AI пересекает описанную окружность в точке W. Тогда PWA- прямой. Нам нужно найти связь между AD и диаметром, что то же самое, что связь между IP и AP. Попробуйте найти её, если мы знаем, что треугольники APW и IPW- прямоугольные...
Подсказка 3
Если записать теоремы Пифагора для этих треугольников, то можно установить, что AP²-IP²=AW²-IW². Тогда нам осталось доказать, что AB*AC=AW²-IW². У нас листок на лемму о трезубце, а мы до сих пор ею не воспользовались. Надо исправлять!
Подсказка 4
По лемме о трезубце WB=WI=WC. Тогда W- центр описанной окружности треугольника CIB. Тогда AW²-IW² это не что иное, как степень точки A относительно этой окружности. Осталось только доказать, что степень точки A равна AB*AC...
Подсказка 5
Заметим, что W лежит на биссектрисе ∠BAC. Тогда описанная окружность треугольника BIC симметрична относительно AW. Теперь отметьте вторую точку пересечения прямой AB c этой окружностью и запишите произведение секущей на внешнюю часть, и будет вам счастье!
Пусть биссектриса 
пересекает описанную окружность в точке 
. Проведем диаметр 
. Тогда 
- параллелограмм и 
.
Тогда доказываемое равенство можно записать в виде:
Кроме того, так как 
- диаметр окружности, то угол 
- прямой. Тогда правую часть равенства (1) можно
преобразовать:
Таким образом, задача сводится к доказательству равенства
Воспользуемся известным фактом: 
, который называют теоремой трилистника или леммой о трезубце. Центр 
описанной окружности треугольника BIC лежит на биссектрисе угла 
, поэтому точки пересечения этой окружности со сторонами
угла 
попарно симметричны относительно биссектрисы 
. В частности, симметричны точки 
и 
, значит,
.
Пусть 
- касательная к описанной окружности треугольника ВIC. Тогда
Из треугольника 
по теореме Пифагора
Из равенств (3) и (4), учитывая также, что 
, получим:
то есть равенство (2), которое равносильно утверждению задачи.
В заключительной части решения можно обойтись без теоремы Пифагора, если использовать степень 
точки 
относительно
окружности 
Это утверждение, равно как и теорему о трилистнике, школьники могут использовать без доказательства.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
