Лемма о трезубце
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность треугольника 
касается сторон 
и 
в точках 
и 
соответственно. Точка 
— центр вневписанной
окружности, касающейся стороны 
Точки 
и 
— середины 
и 
Прямые 
и 
пересекаются в точке 
Докажите, что 
лежит на описанной окружности треугольника 
Подсказка 1
Раз есть центр вневписанной окружности и какие-то серединки, то можно отметить и центр вписанной, и середину дуги BC и воспользоваться леммой о трезубце! Что теперь можно заметить на картинке?
Подсказка 2
А вот что: т.к. середина дуги BC (пусть это W) является серединой отрезка между центрами вписанной и вневписанной окружностями, то WM и WN - средние линии в соответствующих треугольниках! А что еще про WM и WN можно сказать тогда?
Подсказка 3
Что они равны, т.к. соответствующие им основания - радиусы вписанной) А теперь вспомним, что WB = WC. Посчитайте уголки BWM и CWN, и тогда дальше досчитаются все уголки)
Пусть 
и 
— центры вписанной и вневписанной окружностей 
соответственно, a 
— точка пересечения описанной
окружности 
с биссектрисой 
. Тогда по лемме о трезубце 
. Проведем радиусы 
и 
.
Рассмотрим 
и 
. 
и 
являются средними линиями этих треугольников соответственно (так как 
и
по условию). Так как 
(как радиусы), то и 
Пусть 
Посчитаем 
.
Посчитаем 
.
Отсюда получается, что 
— вписанный 
лежит на описанной
окружности 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
