Лемма о трезубце
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
— середина дуги 
описанной окружности треугольника 
— центр его вписанной окружности, 
— основание
биссектрисы 
Прямая 
пересекает описанную окружность в точке 
Описанная окружность треугольника 
пересекает
прямую 
вторично в точке 
Докажите, что 
Источники:
Подсказка 1
∠PIB — не особо понятный, да и прямая PI не особо "красивая", а должно быть наоборот. Что в таком случае можно сделать? Какой метод применить?
Подсказка 2
Подмена точки! Определим P' как пересечение перпендикуляра к AL в точке I и прямой BC. Хотим доказать, что P' = P. Как это сделать? (вспомните условие)
Подсказка 3
Именно! Доказать вписанность ALKP'. Также, не умаляя общности, будем считать, что AB < AC, тогда P' лежит на лучше CB за точку B. Что для этого нужно сделать?
Подсказка 4
Доказать равенство вписанных углов. Подумайте, к каким углам проще всего привязаться?
Подсказка 5
Да, это углы LAK и LP'K. Чтобы удобно оперировать углами, обозначим за N точку пересечения AI и описанной окружности △ABC. Какой вывод можно сделать про отрезок MN?
Подсказка 6
Осознайте, что это диаметр. Тогда несложным счётом углов докажите, что P'I касается описанной окружности △KIN — ω₁, а также окружности с центром в N и радиусом NB — ω₂ (воспользуйтесь леммой о трезубце).
Подсказка 7
Итого, P'I — общая касательная к α и β. Что это значит в "радикальных терминах"?
Подсказка 8
Верно! P'I — радикальная ось ω₁ и ω₂, а BC — радикальная ось ω₂ и описанной △АВС. Тогда чем является точка P?
Подсказка 9
Верно! Радикальным центром ω₁, ω₂ и описанной △АВС. Осталось что-то понять про точки K, N, P' и немного посчитать уголки и дуги. Уверены, вы справитесь! Успехов!
Решение 1.
Обозначим через 
середину дуги 
а через 
— точку пересечения прямой, проходящей через 
перпендикулярно 
с прямой
Докажем, что 
Для этого докажем, что четырёхугольник 
вписанный, проверив равенство углов 
Не умаляя общности, можно считать, что 
(тогда точка 
рассположена на луче 
). Заметим, что
(так как 
— диаметр), поэтому описанная окружность 
треугольника 
касается прямой 
в точке 
Поскольку 
описанная окружность 
треугольника 
(с центром в 
) тоже касается 
в точке 
Следовательно, точка 
— радикальный центр 
и описанной окружности 
Но тогда точки 
лежат на одной прямой,
откуда
Решение 2.
Не умаляя общности, можно считать, что 
Обозначим через 
середину дуги 
Тогда
поскольку сумма дуг описанной окружности 
на которые опираются углы в последней сумме, равна 
Так как
(он опирается на диаметр), то точки 
лежат на одной прямой. Далее, в силу подобия треугольников 
и
выполняется равенство 
откуда 
Но в силу леммы о трезубце, 
поэтому
откуда 
и треугольники 
и 
подобны. Но тогда 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
