Лемма о трезубце
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Олег и Оливер гоняют на велосипедах с одинаковыми угловыми скоростями: Оливер — по круговой траектории 
а Олег — по круговой
траектории 
в два раза меньшего радиуса, причем они стартуют с двух ближайших точек окружностей и круг Олега
лежит внутри круга Оливера. По окружности 
также движутся два помощника, поддерживающих экран (т.е. хорду с
концами в точках, в которых расположены помощники) так, что расстояние от каждого из них до Олега всегда такое же, как
и расстояние от Олега до Оливера. Докажите, что на протяжении всей гонки экран касается некоторой фиксированной
окружности.
Источники:
Подсказка 1
Обозначим за O,V,X и Y Олега, Оливера и двух помощников соответственно. Если нарисовать рисунок, то от нас явно спрятали какую-то известную и хорошую "картинку", посмотрите на равные отрезки, которые нам даны и на окружность 𝒯.
Подсказка 2
Верно, как будто нам показывают лишь часть картинки леммы о трезубце! Попробуйте восстановить точку, которую от нас спрятали и подумать, как эта точка поможет нам в задаче.
Подсказка 3
Давайте ещё заметим, что у нас получилась как бы "картинка в картинке", возможно, тут поможет гомотетия, попробуйте посмотреть на центр положительной гомотетии окружностей 𝒯 и 𝒜.
Подсказка 4
Да это же центр нашей искомой окружности, ещё не совсем, но можно попробовать это доказать! Мы уже знаем, что она точно касается экрана и её центр не меняется, остаётся показать, что её радиус тоже фиксирован, а какой факт связывает точку, окружность и радиус?
Подсказка 5
Можно использовать степень точки S относительно 𝒯, останется только "перекинуть" равные отрезки так, чтобы остались только фиксированные величины (из исходной "картинки") и радиус окружности с центром в S.
Обозначим за 
и 
Олега, Оливера и двух помощников соответственно, за 
— центр положительной гомотетии окружностей 
и 
Из условия следует, что прямая 
всегда проходит через 
причем, так как радиусы окружностей отличаются в два раза,
отрезок 
делится точкой 
пополам. Отметим точку 
— пересечение луча 
с 
Поскольку равные хорды стягивают
равные меньшие дуги, точка 
— середина дуги 
то есть прямая 
содержит внутреннюю биссектрису треугольника 
а еще
По лемме о трезубце это означает, что точка 
является центром вписанной окружности треугольника 
обозначим эту окружность за 
Покажем, что 
является искомой окружностью. Она касается отрезка 
в силу построения, поэтому достаточно проверить, что она
не зависит от времени. Как показано выше, центр 
— это 
обозначим ее радиус за 
. Также обозначим за 
расстояние между
центрами 
и 
а за 
— постоянный радиус 
Посчитаем степень точки 
относительно 
двумя способами:
Величины 
и 
не зависят от времени, поэтому 
также от него не зависит, следовательно, окружность 
имеет постоянный центр
и радиус, что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
