Лемма о трезубце

Первое решение.

Отметим точки — середины дуг Точка лежит на биссектрисе угла аналогично точка лежит на прямой Заметим, что так как они стягивают одну дугу.

По лемме о трезубце так что — вписанный. Значит,

Следовательно, Аналогично То есть Точно так же доказывается параллельность и Таким образом, — параллелограмм.

Теперь покажем, что он прямоугольник. В силу вышедоказанных параллельностей для этого достаточно доказать, что А это следует из того, что угол между и равен полусумме высекаемых ими дуг и а она как раз равна

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Если в треугольнике точка является центром вписанной окружности, то .

По лемме

Значит, лежат на одной окружности. Аналогично, лежат на одной окружности. Значит,

Аналогично можно доказать, что остальные углы четырехугольника равны , и значит, — прямоугольник.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Предложенный факт широко известен в узких олимпиадных кругах под названием Японская теорема о вписанном четырёхугольнике. Но в задаче без доказательства пользоваться им нельзя, потому что суть задачи в том, чтобы доказать этот факт. А вот леммой про угол между биссектрисами на олимпиаде пользоваться можно без доказательства.