Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Использование средней линии и середин отрезков через векторы

Тема Векторы и координаты в планиметрии

Использование средней линии и середин отрезков через векторы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела векторы и координаты в планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69120

Середины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Оказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведенные отрезки равны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что во многих четырехугольниках на картинке есть средние линии...что тогда сделаем?

Подсказка 2

Запишем их средние линии с помощью векторов! Тогда мы сможем понять что-то про сумму отрезков, соединяющих середины сторон. Осталось лишь воспользоваться тем, что угол между этими векторами уже в условии определен ;)

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $M, K, P, L, N$ и $S$ — середины сторон $AB, BC, CD, DE, EF$ и $FA$ соответственно.

Рассмотрим четырёхугольник $ACDF.$ В нем

−→SP =−S→A + −→AC+ −C→P = −→SF + −−F→D + −−D→P

Поскольку $SP$ — средняя линия этого четырёхугольника, то сложив эти равенства, получим

−→ (−→ −−→ ) SP = 12 AC +F D

Аналогично $( ) ( ) −K−→N = 12 −−B→F +−C−→E , −L−M→ = 12 −D−→B + −E→A$

Сложим полученные равенства:

−→ −−→ −−→ 1(−→ −→ −−→ ) 1(−−→ −−→ −−→) SP + KN + LN = 2 EA + AC+ CE + 2 DB +BF + FD = 0

По условию угол между каждыми двумя из этих трёх векторов равен $∘ 60 ,$ следовательно, из отрезков $SP, KN$ и $LM$ можно составить равносторонний треугольник.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#49011

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $AM =CN =√3-$ . Точка $P$ – середина отрезка $MN$ , точка $Q$ – середина стороны $AC.$ Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $∘ 60.$ Найти длину отрезка $P Q.$

Источники: Росатом-19, 11.6 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как векторно выразить среднюю линию четырёхугольника

Подсказка 2

Затем вспомните, что длина это корень из скалярного квадрата

Показать доказательство

Первое решение.

Давайте вспомним, что отрезок между серединками каких-то сторон может быть удобно посчитать через векторы:

−−→ −−→ −P−→Q = Q− P = A+-C-− M-+N-= A-−-M + C−-N-= MA-+-NC- 2 2 2 2 2

Тем более нам дан угол между векторами $AM$ и $CN$ — он равен углу между векторами $AB$ и $CB$ (ведь $−A−M→$ сонаправлен $−A→B$ , а $−C−→N$ сонаправлен $−C−→B$ ) то есть $60$ градусам. Осталось вспомнить, что длина связана со скалярным квадратом:

∘------ ∘----- ┌│ (−−→--−−→-)-2 P Q= |−−→PQ|= |−−−P−→Q|= |−−−−P→Q|2 = −−−−P→Q2 = ││∘ (AM-+CN-) 2

Раскрываем квадрат суммы:

(2PQ )2 = −A−→M2 + −−C→N2 +2(−−A→M,−C−→N )= AM2 + CN2+ 2⋅AM ⋅CN ⋅cos∠ (−A−M→, −C−→M )= 3+3 +2⋅3⋅ 1 = 9 2

Отсюда $2PQ =3.$

Второе решение.

$PIC$

Давайте заметим, что если сдвинуть точку $C$ и $N$ по стороне $B$ на вектор $v$ , то условие останется выполненным, а точки $P$ и $Q$ сдвинуться на вектор $v 2$ . Значит длина $PQ$ не измениться. Аналогично, можно сдвинуть точки $A$ и $M$ вдоль $AB$ так, чтобы условие и длина $PQ$ сохранилась. Сдвинем $N$ и $M$ в точку $B$ и получим.

$PIC$

Тогда $P = B$ , $√- AB = AC = 3$ и $∠ABC = 60∘$ . Значит, перед нами равносторонний треугольник и $PQ$ медиана в нем. Значит, ее длина равна $32.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#47141

Центроидом четырехугольника будем называть точку пересечения двух прямых, соединяющих середины его противоположных сторон. Шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность $Ω$ с центром $O.$ Известно, что $AB = DE$ и $BC = EF.$ Пусть $X, Y$ и $Z$ — центроиды четырехугольников $ABDE, BCEF$ и $CDF A$ соответственно. Докажите, что высоты треугольника $XYZ$ пересекаются в точке $O.$

Источники: КМО - 2018, четвёртая задача первого дня для 8-9 классов, авторы Полянский А.А. и Jiang Z. (cmo.adygmath.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала хочется разобраться с равенствами сторон. Заметим, что в силу этих равенств три четырёхугольника из условия являются равнобедренными трапециями! Тогда у них равны диагонали. Что тогда можно сказать про связь этих диагоналей с центром O?

Подсказка 2

Правильно, они равноудалены от O. Тогда их середины P, Q, R равноудалены от O, т.е. O является центром описанной окружности △PQR. Почему это хорошее наблюдение? Ну, кажется, что центроиды как-то связаны со сторонами △PQR.

Подсказка 3

Действительно, из симметрии трапеций центроиды вроде бы должны быть серединами соответствующих сторон △PQR. На самом деле это правда, попробуйте доказать это утверждение в таком виде: середины сторон △PQR являются центроидами соответствующих трапеций. Этот факт верен и для произвольного четырёхугольника, попробуйте его также доказать, это довольно важная лемма. Теперь, когда мы доказали эту крутую лемму, поймём, как связаны △PQR и △XYZ.

Подсказка 4

Стороны △XYZ являются средними линиями △PQR, т.е. параллельны его сторонам. Постойте, но теперь утверждение задачи очевидно! Ведь т.к. O является центром описанной окружности △PQR, то мы можем провести серединные перпендикуляры. А ведь для △XYZ они являются... :)

Показать доказательство

Важная лемма о центроиде. Центроид четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.

Первый способ доказательства. Пусть $A1A2A3A4$ — данный четырехугольник, а $Mij$ — середина отрезка $AiAj$ (для всех пар индексов). Тогда $M12M13$ — средняя линия треугольника $A1A2A3,$ поэтому $M12M13 ∥ A2A3.$ Аналогично $M42M43 ∥A2A3,$ поэтому $M12M13 ∥M42M43.$ Таким же образом доказывается параллельность $M12M42$ и $M13M43.$ Значит, $M12M13M43M42$ — параллелограмм, тем самым середина отрезка $M13M24$ лежит на прямой $M12M34.$ Аналогично, середина $M13M24$ лежит на прямой $M23M41,$ таким образом, эта середина является центроидом. Утверждение доказано.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ доказательства. Пусть у четырёхугольника $ABDE$ точки $P,Q$ — середины $AD,BE$ . Пусть $M,N,K,L$ — середины $AB,BD, DE,EA.$ Для центроида $X$ выполнено $MX =XK,$ поскольку $MNKL$ — параллелограмм. Заметим, что $MP ∥BC ∥ QK,$ а также $MP = QK = B2C,$ откуда $−−→ −−→ MP = QK.$ Тогда уже для $X ′$ — середины $PQ$ получаем

−−−→′ −−M→P-+-−−M→Q- −M−Q→-+−Q−→K- −−M→K-- −−→ MX = 2 = 2 = 2 = MX

Отсюда $′ X =X .$ Утверждение доказано.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

$PIC$

Решение. Проведем диагонали $AD,BE,CF ;$ пусть $P,Q,R$ соответственно — их середины. По Важной лемме о центроиде середины отрезков $PQ,QR, RP$ и есть центроиды четырехугольников $ABDE, BCEF, CDF A.$ Итак, $X,Y,Z$ — соответственно середины отрезков $P Q,QR, RP.$

Из равенства отрезков $AB =DE$ и $BC = EF$ следует равенство дуг, откуда $AD =BE =CF,$ отсюда $P,Q$ и $R$ равноудалены от $O.$ Тогда $OX$ — серединный перпендикуляр к $P Q.$ Так как $Y Z∥PQ$ как средняя линия, то $OX ⊥ YZ.$ Аналогично $OY ⊥ XZ,$ значит, $O$ — ортоцентр треугольника $XY Z.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#47135

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$ . Точки $M, N,P$ и $Q−$ середины сторон $AB,BC,CD$ и $DE$ соответственно, точки $H$ и $K$ — середины $MP$ и $NQ$ соответственно. Найдите длину отрезка $HK$ , если $AE = 7$ .

Источники: ОММО-2014, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Попробуем отрезок MQ выразить двумя разными способами, чтобы приравнять и вычислить HK. Для этого в вычислениях должен встречаться HK. Попробуйте записать MQ двумя различными способами

Подсказка 2!

Например, как две покрывающие его ломаные, например, MH + HK + KQ. И вторая ломаная, MB + BC + CD + DQ

Подсказка 3!

То есть теперь попробуем выразить все отрезки через AB, BC, CD, DE и отношения с ними, а Hk оставить нетронутым, чтобы выразить!

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим везде обозначения векторов, поскольку больше ничего использовать не будем. Выразим $MQ$ двумя способами

MQ = MH + HK + KQ = MB + BC +CD + DQ = AB-+ BC+ CD + DE- (1) 2 2

Распишем более подробно первое равенство

MP- -A2B+-BC-+-CD2- NQ- -B2C+-CD-+-DE2- MH = 2 = 2 ; KQ = 2 = 2

AB 3BC 3CD DE MQ = NH +HK +KQ =-4- +--4-+ --4-+ -4-+ HK (2)

Приравнивая $(1)$ и $(2)$ , имеем

AB + BC +CD + DE AE |AE | 7 HK = --------4--------= -4- =⇒ |HK |= -4--= 4

Ответ:

$7 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#39610

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, а длина отрезка, соединяющего середины диагоналей $BD$ и $AC$ , равна $2013$ . Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон $CD$ и $AB$ .

Источники: ОММО-2013, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть K,L,M,N-середины AB,AC,CD,BD. Тогда, к примеру в треугольнике ABC у нас есть две середины сторон. На проведение какого(каких?) доп.построения это может намекать?

Подсказка 2

Отлично, мы провели 4 средние линии. Но ведь средняя линия параллельна стороне треугольника! Тогда что можно сказать про ч-угольник KLMN , используя условие, что AD перпендикулярно BC?

Подсказка 3

Да, то что KLMN-прямоугольник. Дело остается за малым, ведь осталось лишь применить одно свойство прямоугольника, чтобы найти KM

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое решение.

Пусть $K,L,M, N$ — середины $AB,AC,CD,BD$ соответственно. Заметим, что $KL ∥NM ∥ BC$ , как средние линии в $△ABC, △BDC$ . Аналогично $KL ∥MN ∥AD$ . Отсюда $KLMN$ — параллелограмм, в котором $KL ⊥ ML$ в силу $BC ⊥ AD$ , то есть это прямоугольник, в котором диагонали равны. Осталось заметить, что его диагоналями и будут два отрезка из условия.