Использование средней линии и середин отрезков через векторы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Центроидом четырехугольника будем называть точку пересечения двух прямых, соединяющих середины его противоположных сторон.
Шестиугольник 
вписан в окружность 
с центром 
Известно, что 
и 
Пусть 
и 
—
центроиды четырехугольников 
и 
соответственно. Докажите, что высоты треугольника 
пересекаются в точке
Источники:
Подсказка 1
Сначала хочется разобраться с равенствами сторон. Заметим, что в силу этих равенств три четырёхугольника из условия являются равнобедренными трапециями! Тогда у них равны диагонали. Что тогда можно сказать про связь этих диагоналей с центром O?
Подсказка 2
Правильно, они равноудалены от O. Тогда их середины P, Q, R равноудалены от O, т.е. O является центром описанной окружности △PQR. Почему это хорошее наблюдение? Ну, кажется, что центроиды как-то связаны со сторонами △PQR.
Подсказка 3
Действительно, из симметрии трапеций центроиды вроде бы должны быть серединами соответствующих сторон △PQR. На самом деле это правда, попробуйте доказать это утверждение в таком виде: середины сторон △PQR являются центроидами соответствующих трапеций. Этот факт верен и для произвольного четырёхугольника, попробуйте его также доказать, это довольно важная лемма. Теперь, когда мы доказали эту крутую лемму, поймём, как связаны △PQR и △XYZ.
Подсказка 4
Стороны △XYZ являются средними линиями △PQR, т.е. параллельны его сторонам. Постойте, но теперь утверждение задачи очевидно! Ведь т.к. O является центром описанной окружности △PQR, то мы можем провести серединные перпендикуляры. А ведь для △XYZ они являются... :)
Важная лемма о центроиде. Центроид четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.
Первый способ доказательства. Пусть 
— данный четырехугольник, а 
— середина отрезка 
(для всех пар
индексов). Тогда 
— средняя линия треугольника 
поэтому 
Аналогично 
поэтому
Таким же образом доказывается параллельность 
и 
Значит, 
— параллелограмм,
тем самым середина отрезка 
лежит на прямой 
Аналогично, середина 
лежит на прямой 
таким
образом, эта середина является центроидом. Утверждение доказано.
Второй способ доказательства. Пусть у четырёхугольника 
точки 
— середины 
. Пусть 
— середины
Для центроида 
выполнено 
поскольку 
— параллелограмм. Заметим, что 
а
также 
откуда 
Тогда уже для 
— середины 
получаем
Отсюда 
Утверждение доказано.
Решение. Проведем диагонали 
пусть 
соответственно — их середины. По Важной лемме о центроиде середины
отрезков 
и есть центроиды четырехугольников 
Итак, 
— соответственно середины отрезков
Из равенства отрезков 
и 
следует равенство дуг, откуда 
отсюда 
и 
равноудалены от 
Тогда 
— серединный перпендикуляр к 
Так как 
как средняя линия, то 
Аналогично 
значит,
— ортоцентр треугольника 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
