Базовые операции с векторами на плоскости

Опустим везде обозначения векторов, поскольку больше ничего использовать не будем.

Будем доказывать по индукции. Не умаляя общности, можно считать, что векторы для каждого отсортированы по возрастанию тангенса угла наклона (или по часовой стрелке).

База индукции для (всего один вектор) очевидна,

пусть предположение верно для и для векторов , то есть для выполнено . Заметим, что каждый вектор из суммы лежит между и , тогда и лежит между ними (если это не так, то хотя бы один вектор в сумме имеет больший или меньший коэффициент наклона, чем у крайних, что невозможно). Далее пусть , тогда — ромб и — его диагональ и биссектриса . Сам угол меньше по условию, тогда его биссектриса образует острый угол с внутренним лучом , то есть . Пусть (снова как векторы), то есть , тогда , как дополнение к острому и (лежит напротив тупого угла). Шаг индукции доказан.

Замечание. Если точки могут лежать на диаметре, то угол может достигать , откуда сторона в треугольнике останется наибольшей, но теперь может иметь нулевую длину и сумма останется на окружности при шаге индукции.