Тема Векторы и координаты в планиметрии

Базовые операции с векторами на плоскости

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела векторы и координаты в планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95899

Упростите выражение $AC-+ DE-+CB-+ EA.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с векторами, поэтому хорошо бы вспомнить, а какие свойства есть у них? Если тяжеловато воспринимать просто выражение, то попробуйте нарисовать векторы на бумаге.

Подсказка 2

Верно, мы знаем, что AC+BC = AC (складываем как векторы). К тому же складывать мы можем в любом порядке. Попробуйте теперь, применив эти знания, упростить выражение!

Показать ответ и решение

Вспомним, что для любых точек $P,Q,R$ верно

--- --- --- PQ+ QS = PS,

а также, что сложение векторов коммутативно и ассоциативно, то есть

- - - - a+ b= b+a

(a+ b) +c= a+ (b+ c) .

Исходя из этих свойств:

AC+ DE-+ CB-+EA-= AC-+CB-+ DE-+ EA= AB-+ DA-=DA-+ AB-= DB-

Ответ:

$DB$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95902

Упростите выражение $CE-− CA-+EB-− DB.$

Показать ответ и решение

--- --- --- --- CE− CA +EB − DB =

CE+ AC-+EB-+ BD-=

AC-+CE-+ EB-+ BD-=AD-

Ответ:

$AD$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95903

(a) Пусть $AA1$ — медиана треугольника $ABC.$ Докажите, что

---- 1--- --- AA1 = 2(AB + AC)

(b) На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $A1$ такая, что

BA1-= t. BC

Докажите, что

AA1 = (1− t)AB-+tAC

Показать доказательство

(a) Разложим вектор в сумму векторов

({ ---- --- ---- AA1-= AB-+BA1- ( AA1 = AC +CA1

Так как вектора $---- CA1$ и $---- BA1$ равны по модулю и противоположно направленны, то

---- ---- BA1 = −CA1,

тогда после сложения равенств системы

---- --- --- 2⋅AA1 = AB +AC

---- AB-+AC- AA1 = ---2---

(b) По условию $BA1 = t⋅BC,$ тогда

CA1 = BC − BA1 = (1− t)⋅BC

Следовательно,

( ---- --- ---- --- --- { AA1 =AB + BA1 =AB + t⋅BC ( AA1-=AC-+ CA1-=AC-− (1 − t)⋅BC

Домножим первое и второе равенство на $t− 1$ и $t$ соответственно. Тогда, сложив их, получим:

AA1 = (1− t)⋅AB-+t⋅AC

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95904

В четырёхугольнике $ABCD$ точка $M$ — середина $BC,$ $N$ — середина $AD.$ Докажите, что

BA+-CD-- MN ≤ 2

Когда достигается равенство?

Показать ответ и решение

Представим вектор $MN--$ в следующем виде:

({ MN--= MB-+ BA+ AN- ---- --- --- --- ( MN = MC + CD+ DN

Так как вектора $---- MB$ и $--- MC,$ $--- AN$ и $--- DN$ равны по модулю и противоположно направленны, то

---- --- --- 2⋅MN = CD +BA

---- CD-+BA- MN = ---2----

Тогда по неравенству треугольника получим, что

MN ≤ CD + BA-= BA-+CD-- 2 2 2

Равенство достигается, когда $CD-$ сонаправлен $BA,$ то есть, когда $CD ||BA.$

Ответ:

Когда $CD ||BA$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#68542

Пусть $ABCD$ и $AB C D 1 1 1$ — два параллелограмма с общей вершиной. Докажите, что один из векторов $BB- ,CC- 1 1$ и $DD- 1$ коллинеарен сумме двух других.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как доказать, что сумма двух векторов коллинеарна третьему? Может, выразить каждый наш вектор через какие-то другие и доказать, что сумма двух равна третьему...

Подсказка 2

Попробуем для начала разобраться с BB₁. Видно, что BB₁=BA+AB₁. А что можно сказать про вектор DD₁?

Подсказка 3

DD₁=DA+AD₁. Видно, что вектора BB₁ и DD₁ не содержат в разложении одинаковых векторов. Может, тогда именно вектор CC₁ равен сумме BB₁ и DD₁?

Подсказка 4

Итак, CC₁=CB+BA+AB₁+B₁C₁=BB₁+CB+B₁C₁. Если мы докажем, что CB+B₁C=DD₁, то мы победили. А может, просто CB=DA и B₁C=AD₁? Вспомните, что ABCD и AB₁C₁D₁ - параллелограммы, и завершите решение!

Показать доказательство

$PIC$

Выразим каждый из этих векторов через $−→ −−→ −−→ −−−→ AB,BC,AB1,B1C1$

−B−B→1 = −−A→B + −−A→B1, −D−D−→1 = −−D→A +−A−D→1 = −−B−→C + −−B−1→C1

Наконец,

−−→ −−→ −→ −−→ −−−→ −−−→ −−→ CC1 = −BC − AB +AB1 +B1C1 = DD1+ BB1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#69112

В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ выбраны точки $K$ и $L$ так, что $AK = BL,$ а на стороне $BC$ — точки $M$ и $N$ так, что $CN = BM.$ Докажите, что $KN + LM ≥ AC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обратим внимание на схожесть расположения каждого из отрезков нашего неравенства. Каждый из них включен в треугольник с вершиной B. Попробуйте выразить вектора AC, KN и LM через вектора выходящие из вершины B.

Подсказка 2

Не просто же так в условии сказано, что BL=KA, а BM=NC. Подумайте, почему эти же равенства будут верны и в векторном виде и подставьте их в выражения, которые мы находили ранее. Подумайте, как теперь мы можем связать вектора AC, KN и LM.

Подсказка 3

Если до этого вы всё сделали правильно, то должны были получится векторные равенства: KN = BN - BK, LM = NC - KA. Если сложить два векторных равенства, то получим KN+LM=(BN+NC)-(BK+KA)=BC-BA=AC. Подумайте, почему данное векторное равенство доказывает неравенство из условия.

Показать доказательство

Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рисунке

$PIC$

Тогда имеем следующие равенства:

( ||| −A→C =−B−→C − −B→A { −−K→N = −−B→N − −−B→K |||( −−→ −−→ −→ LM = BM − BL

Поскольку $−−→ −−→ BM = NC,$ а $−→ −−→ BL = KA,$ то сложив второе и третье равенства получим

−−→ −−→ (−−→ −−→ ) (−−→ −→ ) −−→ −→ −→ KN + LM = BN + BM − BK + BL =BC − BA = AC

Следовательно

|−A→C |= |−−L→M +−K−N→|≤ |−L−→M |+ |−K−→N |

Заметим, что при таком решении не существенно, как расположены точки $K, L, M$ и $N.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#69114

Дан четырёхугольник $ABCD.A ′,B′,C′$ и $D′$ — середины сторон $BC, CD,DA$ и $AB$ соответственно. Известно, что $AA′ = CC′$ и $′ ′ BB = DD .$ Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам сказали про середины сторон, которые намекают нам на медиану...а что мы умеем делать с медианой в векторах?

Подсказка 2

Выражать ее через стороны треугольника! Т.е. каждый отрезок вида X'X мы можем выразить и записать систему равенств...что из нее видно?

Подсказка 3

Сумма векторов A'A + B'B + C'C + D'D = 0. Что это значит?

Подсказка 4

Из них можно составить четырехугольник с помощью параллельных переносов! Осталось лишь использовать равенства из условия и прийти к параллелограмму)

Показать доказательство

$PIC$

Так как точки $A′,B′,C′$ и $D ′$ являются серединами соответствующих сторон, то

( |||| −A−A→′ = −−→AB+2−−A→C |||{ −−→′ −−B→D+−B−→C- | B−B−→ = −−→2−−→ ||||| CC ′ = C−−D→+2C−A−→ |( −D−D→′ = DB+2DA

Складывая, получим, что

−A−A→′+−B−B→′+−C−C→′+−D−D→′ = −→0

Значит, данные отрезки можно параллельно перенести так, чтобы образовался четырёхугольник. Поскольку $AA ′ =CC ′,$ а $BB′ = DD ′,$ то полученный четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, прямые $AA′$ и $CC′$ параллельны и четырёхугольник $AA ′CC ′$ — параллелограмм, откуда следует, что отрезки $AC′$ и $CA′$ параллельны и равны. Но тогда стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны, то есть $ABCD$ — параллелограмм.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#77202

В трапеции $ABCD$ c основаниями $AD$ и $BC$ оказалось, что $−A→C + −−B→D = 2(−A→B + −−C→D)$ . В каком отношении диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ ?

Показать ответ и решение

$PIC$

Распишем левую часть уравнения:

−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ AC+ BD = AB +BC + BC +CD.

Подставляя последнее выражение в уравнение, получаем:

−−→ −→ −−→ 2BC = AB +CD

Распишем $−→AB+ −C−→D :$

−A→B + −−C→D =−A−→D − −B−→C.

Подставляя в уравнение получаем, что:

3−−B→C = −−A→D.

Из подобия треугольников, получаем, что искомое отношение $3 :1.$

Ответ: 3 : 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#47134

Докажите, что сумма векторов, ведущих из центра правильного $n$ -угольника в его вершины, равна $−→0$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

У нас есть абсолютно симметричная картинка, попробуйте использовать поворот: повернем картинку относительно центра на центральный угол, проанализировать, как изменится сумма.

Подсказка 2!

Попробуйте воспользоваться тем, что с одной стороны (из-за симметрии) сумма не должна измениться, но с другой, угол при каждом векторе уменьшается.

Показать доказательство

Пусть мы имеем дело с $n$ -угольником. То есть, мы хотим понять, чему равна сумма $−→ −→ −→ v1+ v2+...+ vn$ векторов, идущих из центра этого $n$ -угольника к его вершинам. Обозначим результат этой суммы за $−→ v.$ Т.е. пускай $−→ −→ −→ −→ v1+ v2+ ...+vn = v.$

Сделаем такой трюк: повернём наш $n$ -угольник на $2π- n$ вокруг его центра. С одной стороны, раз мы повернули картинку, то и результирующий вектор $−→ v$ должен повернуться на $2π n .$ С другой стороны, понятно, что сумма $−→ −→ −→ v1+ v2+ ...+ vn$ от поворота не изменилась, ведь наш $n$ -угольник как раз симметричен относительно такого поворота, т.е. при повороте на $2π n-$ он перешёл сам в себя.

Следовательно, вектор $−→ v,$ который является результирующим вектором суммы $−→ −→ −→ v1+ v2+ ...+ vn$ с одной стороны не изменился, а с другой - повернулся на $2nπ.$ Но вектор, который не меняется при повороте на любой ненулевой угол, может быть только $−→0 .$ Значит, тем самым, ничего не остаётся, кроме как того, что $−→v =−→0.$ Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#47140

На окружности радиуса $1$ с центром $O$ дано $2n+ 1$ точек $P,...,P 1 2n+1$ , лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что $--- --- |OP1+ ...+ OP2n+1|≥1$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Так как у нас фигурирует параметр n, давайте доказывать утверждение по индукции! Для удобства мы можем отсортировать вектора по часовой стрелке. Предположите, что сумма 2n-1 векторов больше 1, тогда докажем, что при добавлении новых двух векторов - пусть это будет первый и последний, ничего не изменится.

Подсказка 2!

Для этого сначала докажем, что сумма 2..2n лежит между векторами OP1 и OP2n+1

Подсказка 3!

А после рассмотрим вектор их суммы и попробуем доказать, что при прибавлении его все останется хорошо!

Показать доказательство

Опустим везде обозначения векторов, поскольку больше ничего использовать не будем.

Будем доказывать по индукции. Не умаляя общности, можно считать, что векторы $OP1,...OP2n+1$ для каждого $n$ отсортированы по возрастанию тангенса угла наклона (или по часовой стрелке).

База индукции для $n = 0$ (всего один вектор) очевидна,

пусть предположение верно для $n− 1$ и для векторов $OP2,...OP2n$ , то есть для $OS = OP2+ ...+OP2n$ выполнено $|OS|≥ 1$ . Заметим, что каждый вектор из суммы лежит между $OP1$ и $OP2n+1$ , тогда и $OS$ лежит между ними (если это не так, то хотя бы один вектор в сумме имеет больший или меньший коэффициент наклона, чем у крайних, что невозможно). Далее пусть $OR = OP1 +OP2n+1$ , тогда $OP1RP2n+1$ — ромб и $OR$ — его диагональ и биссектриса $∠P1OP2n+1$ . Сам угол $P1OP2n+1$ меньше $∘ 180$ по условию, тогда его биссектриса образует острый угол с внутренним лучом $OS$ , то есть $∘ ∠(OS,OR)< 90$ . Пусть $ST = OR$ (снова как векторы), то есть $OT = OS +OR = OS +ST$ , тогда $∠OST > 90∘$ , как дополнение к острому и $|OT |>|OS|≥ 1$ (лежит напротив тупого угла). Шаг индукции доказан.

Замечание. Если точки могут лежать на диаметре, то угол может достигать $180∘$ , откуда сторона в треугольнике останется наибольшей, но теперь $OS$ может иметь нулевую длину и сумма останется на окружности при шаге индукции.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#76412

Точка $O$ – центр квадрата $ABCD$ . Найдите какие-нибудь семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках $A,B,C,D,O$ , сумма которых равна нулевому вектору.