Ортоцентр и его свойства
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника 
пересекаются в точке 
. 
— центр описанной окружности треугольника
. Оказалось, что центр 
вписанной окружности треугольника 
лежит на отрезке 
. Найдите градусную меру угла 
.
В ответ внесите число.
Источники:
Подсказка 1
Нам дали условие на центр окружности BHC. Но с первого взгляда непонятно, как привязать этот центр к нашей картинке. Из условия мы знаем, что центр лежит на биссектрисе. Но тогда какой точкой с известными свойствами является центр O?
Подсказка 2
Верно, это будет середина дуги BC описанной окружности ABC, так как O лежит на серединном перпендикуляре к BC и биссектрисе. Давайте теперь попробуем что-нибудь понять про точки, лежащие на описанной окружности BHC. Для этого попробуйте вспомнить некоторые свойства ортоцентра и применить один из них к нашей конструкции. Что хорошего можно понять про описанные окружности ABC и BHC?
Подсказка 3
Верно, окружности симметричны относительно BC, потому что при симметрии относительно BC ортоцентр лежит на описанной окружности ABC. Но тогда центр X описанной окружности ABC, лежит на описанной окружности BHC(O лежит на описанной окружности ABC). Теперь осталось только посчитать немного углы и воспользоваться тем, что вписанный угол в два раза меньше центрального. Победа!
Из условия задачи следует, что точка О лежит на пересечении биссектрисы угла 
и серединного перпендикуляра к стороне 
. Так как
эти прямые пересекаются на описанной окружности треугольника 
, то О лежит на этой окружности и является серединой
дуги 
Кроме того, 
, так как 
ортоцентр треугольника 
Далее можно рассуждать
по-разному.
Первое решение.
Обозначим углы треугольника 
. (см. рис. 9.6а) Тогда 
В треугольнике 
(радиусы одной окружности), поэтому 
Аналогично,
Тогда 
Так как
, то получим уравнение 
, откуда 
Второе решение.
Воспользуемся тем, что окружность, описанная около треугольника 
, симметрична описанной окружности треугольника 
относительно прямой 
(см. рис. 9.6б). Тогда центр 
описанной окружности треугольника 
лежит на дуге 
.
Следовательно, 
. Из того, что 
, получим: 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
