Ортоцентр и его свойства

Первое решение.

Пусть середины сторон соответственно. Тогда так как центр описанной окружности треугольника Также дополнительно проведем высоты Пусть Тогда так как средняя линия треугольника то а также поскольку средняя линия треугольника то Так как расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны, то Теперь заметим, что точки лежат на окружности с диаметром Тогда в этой окружности воспользуемся свойством хорд для

Так как треугольник подобен по двум углам то:

Теперь вспомним, что по свойствам ортоцентра Значит,

Второе решение.

Заметим, что так как у них общая высота из вершины и основания одинаковы из условия. Тогда воспользуемся формулой площади через синус угла:

Из свойства ортоцентра значит:

Таким же способом из

Поделим первое равенство на второе:

Пусть радиус описанной окружности равен середина Так как треугольник равнобедренный, то высота и биссектриса этого треугольника. Так как то Значит, из треугольника

По свойству ортоцентра

Тогда из следует: