Ортоцентр и его свойства
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
провели высоты 
и 
. Пусть 
— одна из точек пересечения прямой 
с описанной
около треугольника 
окружностью. Обозначим точку пересечения отрезков 
и 
через 
. Докажите, что
Подсказка 1
Просят доказать равенство отрезков, проведённых из одной вершины. Но окружность связана больше с углами, что тогда было бы удобнее доказывать?
Подсказка 2
Конечно, что ∠APQ = ∠AQP! Самое логичное — обозначить углы за переменные и показать их равенство.
Какие ещё равенства углов может дать окружность? Обратите внимание на два вписанных угла, опирающихся на дугу АС.
Подсказка 3
Теперь стоит вспомнить про высоты! Они дают нам очень много свойств, какие можно использовать?
Подсказка 4
Обратите внимание на четырёхугольника ABDE. Он вписанный! Используя этот факт, что можно сказать про углы ∠ABC и∠DEC?
А ещё основания высот образуют ортотреугольник. Чем будет являться ВE в этом треугольнике?
Подсказка 5
Из последнего факта, можно получить равенство ∠AEP и ∠DEC. И теперь лишь осталось показать, что равны ∠AEP и ∠AQP. Это равенство выполняется, если верно, что APQE вписанный, и наоборот. А вписанность совсем несложно показать!
Равенство отрезков, проведённых из одной вершины, удобно доказывать через равенство углов. Пусть 
Тогда будем доказывать,
что 
Из вписанности 
получаем, что 
Из вписанности 
получаем, что 
Если вспомнить о том, что высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника (можно использовать на олимпиаде без
доказательства), то есть 
то понимаем, что 
Следовательно, 
вписанный. Из вписанности получаем,
что 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
