Ортоцентр и его свойства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведена высота 
. Точки 
и 
- середины отрезков 
и 
. Докажите, что точка
пересечения перпендикуляров, опущенных из точек 
и 
на прямые 
и 
соответственно, равноудалена от точек 
и
.
Источники:
Подсказка 1
Пусть перпендикуляры через M и N пересекаются в точке P. Тогда над каким дополнительным построением можно подумать, чтобы сделать MP и NP чем-то хорошим? Не забудьте, что M и N являются серединами отрезков.
Подсказка 2
Да, давайте попробуем опустить перпендикуляры X и Y из точки H на стороны треугольника. В таком случае MP и NP являются средними линиями, так как они параллельны основаниям и делят одну из сторон пополам. Но как тогда можно переформулировать вопрос задачи удобным образом для нас?
Подсказка 3
Верно, это значит, что четырёхугольник CXYB должен быть вписанным, так как в таком случае P центр описанной окружности и равноудален от B и C. Теперь только осталось посчитать уголочки, используя вписанный четырёхугольник и равные углы в прямоугольном треугольнике с проведённой высотой. Победа!
Первое решение.
Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек 
и 
на прямые 
и 
соответственно, через 
,
а точки, симметричные 
и 
относительно прямых 
и 
, через 
и 
. Тогда прямые 
и 
—
cерединные перпендикуляры к отрезкам 
и 
, поэтому достаточно доказать, что четырёхугольник 
—
вписанный.
Заметим, что 
и 
содержат средние линии треугольников 
и 
, параллельные сторонам 
и 
соответственно. Значит, 
Четырёхугольник 
вписан в окружность, построенную на 
как на диаметре, поэтому 
по свойству
вписанных углов. При этом 
. Значит, четырёхугольник 
вписанный.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек 
и 
на прямые 
и 
соответственно, через 
, а точку
пересечения высот треугольника 
— через 
.
Тогда заметим, что треугольники 
и 
подобны по двум углам. Действительно, 
.
Аналогично, выполнено равенство 
. Также заметим, что коэффициент подобия этих треугольников равен 
, поскольку
.
Опустим из 
перпендикуляр 
на 
. Тогда из доказанного подобия следует, что 
т. е. 
. Следовательно,
а значит, 
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
, откуда следует
требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
