Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней

Давайте нарежем решётку на прямые, параллельные сторонам и Тогда рассмотрим аффинное преобразование, которое переводит в а прямые направления в соответствующие прямые направления Если допустим, что оба вектора и не параллельны сторонам решётки, тогда нужно совместить и а потом посмотреть, на какое расстояние мы сместились по горизонтали из (в точку а потом, сколько шагов мы сделали по целым точкам вдоль вектора и сделать аналогичные шаги. Если вектор горизонтальный, то идём сначала по вертикали. Тогда рассмотрим как точку образ точки Получаем, что площади полученных треугольников совпадают, поскольку расстояние между прямыми уменьшилось в раз, а основание увеличилось в раз. При этом все точки на сторонах исходного треугольника теперь на сторонах получившегося по построению (если есть точка на стороне, то можно провести через неё параллельную прямую, которая аналогично перейдёт в параллельную . Значит, по формуле Пика и количество внутренних узлов сохранилось, что и требовалось доказать.