Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней

Каждому многоугольнику с вершинами в узлах целочисленной решётки поставим в соответствие число где суммирование ведётся по всем узлам решётки, принадлежащим а — угол, под которым виден многоугольник из соответствующего узла. Например, для внутренней точки для точки на границе (не являющейся вершиной) А сумма углов по вершинам многоугольника — это тогда легко видеть, что:

Остаётся проверить, что совпадает с площадью Если многоугольник разрезан на части и с вершинами в узлах решётки, то так как углы в узлах складываются. Следовательно, если формула верна для и она верна и для

Рассмотрим прямоугольник со сторонами и параллельными осям решётки. Внутренних узлов: граничных узлов: Тогда:

Формула верна для прямоугольников. Разрежем прямоугольник диагональю на два треугольника. Для каждого треугольника что совпадает с его площадью.

Любой многоугольник можно триангулировать непересекающимися диагоналями. Поскольку формула аддитивна и верна для треугольников, она верна и для всего многоугольника. Таким образом,