Общая точка, прямая, покрытие. Теорема Хелли

Предположим, что это утверждение неверно. Если цвета чередуются (то есть за каждой точкой первого цвета идет точка второго цвета и наоборот), то мы очевидно получим противоречие. Тогда можно полагать, что найдутся две точки одного цвета идущие подряд. Пусть точки раскрашены в красный и синий цвета. На самом деле можно заметить, что среди любых пяти подряд идущих точек найдутся две точки одного цвета (иначе мы получим противоречие, как и раньше). Рассмотрим больше, чем групп из пяти точек. Тогда среди них найдутся две одинаково раскрашенные группы. Рассмотрим эти две группы. В них выделим подгруппу из трех точек, где первые две подряд идущие одного цвета. Без ограничения общности можно считать, что это красная и две синие точки после нее. Аналогичную конструкцию можно найти во втором блоке. Пусть — расстояние между этими блоками из трех чисел. Отступим от правого блока еще вправо на Первая точка нового блока из трех чисел не может быть красной (так как тогда найдется арифметическая прогрессия из трех красных точек, первые две из которых являются первыми точками ранее выделенных групп из трех чисел). Теперь заметим, что выбрав третью точку (синюю) первой группы, вторую точку (синюю) второй группы и первую точку новой выделенной группы получим арифметическую прогрессию. Значит, первая точка третьей группы не может быть и синей. Таким образом, она не может быть ни синей, ни красной — противоречие.