Конструктивы в комбигео

Выберем прямоугольный треугольник, катеты, которого параллельны координатным осям, при этом катет, параллельный оси направлен в противоположную сторону от нее (вектора катетов выходят из вершины прямого угла). Найдем треугольник, гомотетичный данному, подходящий под условие.

Предположим, что треугольника, гомотетичного данному, удовлетворяющего условию задачи, нет. Можно считать, что у данного треугольника две красных вершины и одна синяя. Рассмотрим прямую, проходящую через катет одноцветных вершин. Предположим, что найдется такой же треугольник с двумя красными вершинами на этой же прямой. Продолжим катет одного из этих треугольников и гипотенузу второго до пересечения. С одной стороны, точка пересечения должна быть синей, так как она является вершиной треугольника, гомотетичного исходному, с двумя красными вершинами. По аналогичной причине (так как у двух выбранных ранее треугольников есть по синей вершине), новая точка должна быть красной. Противоречие.

Покажем, что подходящие два прямоугольных треугольника на одной прямой найдутся. Рассмотрим девять троек подряд идущих точек на произвольной прямой, параллельной оси Очевидно, что раскраски двух таких троек будут одинаковыми. В первой тройке найдутся две точки одного цвета, тогда и во второй тоже, причем на таком же расстоянии, как в первой тройке. Применяя рассуждение, приведенное выше, мы получим противоречие.