Изогональное сопряжение

Подсказка 1

Заметим, что в нашей конструкции есть медиана (которую содержит отрезок CM), а также есть антипараллельность отрезков A’B’ и AB. На что в первую очередь намекает подобная конструкция?

Подсказка 2

Конечно, на симедиану! Симедианой будет являться направление CM к стороне AB, так как для стороны A’B’ - CM была медианой. Это означает, что СС₀ (где С₀ - середина AB) и СM - изогонали относительно угла ACB. А какие ещё изогонали относительно угла ACB есть в нашем треугольнике, если уже дана точка пересечения высот?

Подсказка 3

Верно, направление СН и СO (где О - центр описанной окружности). Но у нас нет точки O на рисунке. При этом у нас уже есть середина стороны AB и ортоцентр. Как тогда по-другому задать направление CO?

Подсказка 4

Да, по свойству ортоцентра! Можно отразить H относительно середины стороны BC и попасть в некоторую точку H’ на окружности. При этом О будет лежать на СН’. Значит, СH’ и CH - тоже изогонали относительно угла ACB. Что тогда можно сказать, если у нас есть пара изогоналей относительно одного угла?

Подсказка 5

Верно, что СС₀ и СМ - изогонали относительно угла H’CH. Тогда что можно сказать, основываясь на этом факте и на том, что С₀ - середина HH’?

Подсказка 6

Можно сказать, что СM - симедиана в треугольнике H’CH. При этом знаем, что CH’ и CH относятся как СA’ и CA (по св-ву ортоцентра в силу подобия треугольников CAH’ и CA’H), а они, в свою очередь, относятся как A’B’ к AB (в силу подобия CA’B’ и CAB). И по свойству ортоцентра такое отношение равно…

Подсказка 7

Равно косинусу угла ACB! Значит, чтобы найти этот угол, нам надо найти отношение СH к CH’, но квадрат этого отношения равен HM/MH’. А поскольку мы знаем, что М - точка пересечения медиан треугольника AHB и что H’C₀ = C₀H, то и отношение HM/MH’ нам известно! Значит, задача решена! (Осталось посчитать)