18.14 Функции. Метод главного модуля/слагаемого

Преобразуем левую часть уравнения:

Пусть Тогда графиком функции является парабола с вершиной в точке и ветвями, направленными вниз. Это означает, что в точке функция принимает наибольшее из возможных значений, то есть

 

Рассмотрим правую часть уравнения. Пусть Воспользуемся принципом главного модуля, так как только раскрытие первого модуля определяет, будет функция возрастать или убывать. Раскроем модули в функции чтобы убедиться в этом:

• Если то при раскрытии первого модуля коэффициент при будет равен Заметим, что, как бы ни был раскрыт второй модуль, итоговый коэффициент при будет отрицательным. Тогда на промежутке функция будет убывать.
• Если то при раскрытии первого модуля коэффициент при будет равен 6. Заметим, что, как бы ни был раскрыт второй модуль, итоговый коэффициент при будет положительным. Тогда на промежутке функция будет возрастать.

Следовательно, в точке функция будет принимать наименьшее из возможных значений, то есть

Нас просят найти такие значения параметра при которых исходное уравение будет иметь хотя бы одно решение. То есть графики функций и должны иметь хотя бы одну точку пересечения. Заметим, что в точке функция принимает свое наибольшее значение, а функция — наименьшее. Тогда если то графики функций и вовсе не будут пересекаться.

Следовательно, если у уравнения есть хотя бы один корень, то то есть

Заметим, что условия достаточно для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, так как принимает любое значение от до поэтому примет значение, меньшее а значит пересечет график

Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при