18.14 Функции. Метод главного модуля/слагаемого

Сделаем замену: . Для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы полученное уравнение

имело хотя бы одно решение.

 

1 способ.

 

1) . Модули раскрываются следующим образом:

Изобразим схематично график системы , причем заметим, что при :

 
Из графика видно, что уравнение ни при каких не имеет решений.

 

2) . Тогда уравнение примет вид

Левая часть этого уравнения всегда положительна, а правая – всегда неположительна. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

 

3) . Тогда модули раскрываются следующим образом:

Изобразим схематично график системы , причем заметим, что при :

 
Уравнение будет иметь хотя бы один корень, когда вершина графика функции будет не ниже вершины графика функции : Данные значения для подходят под условие .

 

2 способ.

Рассмотрим два случая:

 

1) . Тогда . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль , справа будет стоять линейная функция, коэффициент перед у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен или , или ). То есть функция справа будет всегда убывать.

 

2) . Тогда . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль , справа будет стоять линейная функция, коэффициент перед у которой будет положительным (в точности, он будет равен или , или ). То есть функция справа будет всегда возрастать.
 
Таким образом, точка максимума у функции справа – это , и в этой точке значение функции равно .
 
Рассмотрим функцию слева: она всегда положительна, имеет единственный минимум в точке , и в этой точке значение функции равно (до точки она убывает, после – возрастает).
 
Следовательно, уравнение будет иметь решения в том случае, если

Решая данное неравенство, получаем тот же ответ