18.19 Функции. Метод оценки

Сделаем замену . Тогда неравенство должно быть выполнено для всех . Пусть также , . Перенесем все слагаемые в одну часть и тогда неравенство примет вид

Рассмотрим функцию . Воспользуемся методом главного модуля/слагаемого: функция при любом варианте раскрытия двух модулей представляет из себя линейную функцию вида , где . Следовательно, как бы ни раскрылись два модуля, коэффициент , следовательно, функция возрастает при всех , а значит, и на промежутке .

Значит, неравенство будет выполнено для всех , если точка находится не левее точки пересечения графика с осью абсцисс, то есть если :

Так как по неравенству треугольника , то при всех выполнено . Следовательно, неравенство равносильно

Равенство возможно тогда и только тогда, когда подмодульные выражения либо одновременно неотрицательны, либо неположительны, следовательно, их произведение неотрицательно: