Симметрия или цикличность в системе

Многочлены и являются простейшими симметрическими многочленами, а любой симметрический многочлен от и можно представить в виде многочлена от и , где .

При решении симметрических систем часто приходится выражать через и многочлены вида

Суммы выражаются через и следующим образом:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Эти формулы можно легко получить самостоятельно. Докажем формулу

позволяющую последовательно выразить через и суммы , и т.д. Для этого заметим, что

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Используя формулы, система из условия примет вид

Так как (при второе уравнение системы теряет смысл), то, разделив числитель и знаменатель дроби на и исключая из системы , преобразуем второе уравнение к виду

откуда .

Если , то , а если , то . Поэтому исходная система равносильна совокупности следующих четырёх систем:

Первая система имеет решения и , вторая — решения и , третья и четвертая системы не имеют действительных решений.