Симметрия или цикличность в системе

Первое решение.

Сложим все данные условия и приведем подобные слагаемые. Получим . Подставим в первое условие:

Из последнего равенства следует, что либо и тогда произведение , либо , и тогда . В первом случае ответ получен, во втором случае подставим и в третьей условие:

Итак, либо , и искомое произведение равно 0 , либо , и тогда , и также равно 0.

Второе решение.

Докажем, что среди чисел и есть хотя бы один 0. Предположим, что среди чисел и есть два равных или противоположных, для определенности пусть это и . Тогда , и из второго уравнения . Аналогично рассматриваем случаи .

Теперь пусть среди чисел и нет равных и противоположных. Складывая первые два уравнения, имеем , откуда , , а поскольку , имеем . Аналогично (складывая второе уравнение с третьим, а также третье с первым) имеем . Но сложив все три полученных равенства, получим , т. е. рассматриваемый случае не возможен.

Замечание.

Как мы видим из решений, необязательно все три числа равны 0. Например, подходит тройка .