Симметрия или цикличность в системе

Сразу обратим внимание на симметрию. Если , то из второго уравнения и – единственное подходящее решение (в обратную сторону аналогично), далее предполагаем, что обе переменные не равны нулю. Возведя первое уравнение в квадрат, из него и второго получим:

Далее приводя к общему знаменателю и учитывая , положим и получим:

Теперь воспользуемся тем, что , откуда имеем:

Получаем квадратное уравнение относительно : , откуда получаем . Далее , тогда во втором случае решений нет, в первом получим , откуда .

В силу той же симметрии достаточно подставить , причём в оба уравнения, поскольку преобразования не были равносильными, имеем:

При обратной подстановке получим, пару , вспоминаем про изначально исключённые , откуда и имеем ответ.