Тема Системы уравнений и неравенств

Сведение системы к квадратному

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений и неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82780

Решите систему уравнений

{ (xy+ 3x− y − 3)|y− x− 9|=(x− 4)|xy+3x − y− 3|; √y-−-x+9-=y − 4.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо понять, какие есть возможности выполнения 1-го уравнения. Имеется одинаковая скобка справа и слева, на неё можно сократить (не забывая про модуль), когда она не равна нулю. Следовательно, можно отдельно рассмотреть случаи равенства и неравенства нулю этой скобки, также не забывая про ОДЗ.

Подсказка 2

Когда ни одна из скобок первого уравнения не равна нулю, учесть модули можно довольно просто — их наличие равносильно тому, что произведение всех скобок без модулей положительно (поскольку, если оставить все модули в одной стороне, а скобки без модулей перенести в другую, то дробь без модулей обязана быть положительной). Далее уже сложностей не остается — нужно лишь аккуратно поделить всё на случаи и довести их до конца, учитывая ОДЗ.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения следует, что $y ≥ 4$ , так как корень неотрицателен.

Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что $(xy+ 3x − y− 3)= 0$ . Условие равносильно $(x− 1)(y +3)= 0$ . Решение $y = −3$ не подходит, а при $x= 1$ получаем:

({ ∘y+-8= y− 4 ⇐⇒ y ≥ 4, ⇐⇒ y = 8 (y2− 9y+8 =0.

Пусть теперь $(xy +3x− y− 3)⁄=0$ , но $(x− 4)= 0$ , и $(y − x − 9)= 0$ . Тогда $x= 4,y = 13$ , но такой вариант не подходит под второе уравнение.

При остальных $x,y$ система равносильна системе:

( ( |||{ (x − 1)(y +3)(x − 4)> 0, |||{(x− 1)(y+ 3)(x− 4)>0, y− x− 9= ±(x − 4), ⇐⇒ y =13 или y = 2x+ 5, |||( √y−-x+-9= y− 4 |||(√y-−-x+-9= y− 4

При $y = 13$ решением будет $x= −59$ , при $y = 2x+ 5$ получим уравнение:

√----- ({ x≥ 0.5, x+ 14= 2x +1 ⇐ ⇒ ( 2 4x +3x− 13= 0

Откуда $−3+√217- x= 8$ , тогда $17+√217- y = 4$ . Последняя пара не удовлетворяет условию $(x − 1)(y +3)(x − 4)> 0$ .

Ответ:

$(1,8),(−59,13)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68031

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что

5 3 x +y = y+ x = 23

Какое наибольшее значение может принимать произведение $xy?$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем наше условие как системку, что два левых выражения равны 23. Понятно, что x, y не нули. Поэтому что можно сделать в системе, чтобы получить где-то xy?

Подсказка 2

Домножить одно из уравнений на x, а другое на y! И выйдет что-то вида xy+3 = 23x, xy+5 = 23y. А что стоит сделать теперь, чтобы вообще все было только через xy?

Подсказка 3

Перемножить два этих уравнения) Дальше делаем замену и решаем задачу окончательно!

Показать ответ и решение

При условии того, что обе переменные не равны нулю, имеем:

{ xy+ 5= 23y xy+ 3= 23x.

Значит:

(xy+ 5)(xy+ 3) =232xy

Пусть $t=xy :$

t2+ 8t+15 =529t

t2− 521t+15= 0

Тогда получим:

√ ------ t= 521±--271-381. 2

Докажем, что наибольший корень реализуется. Действительно, из обоих уравнений получаем $x,y,$ подставляя $xy.$ Они подходят, так как наши преобразования были равносильны с учетом того, что $x⁄= 0,y ⁄=0.$

Ответ:

$521+√271381 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31703

Решите систему уравнений:

{ x2− 3xy +2y2+ 5x − 9y+ 4= 0; x2− y2 − 5= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас первое уравнение можно решить как квадратное относительно х! Что мы тогда получим?

Подсказка 2

Верно, мы получим 2 случая того, как у выражается через х. А это уже можно довольно успешно подставить во второе выражение системы!

Показать ответ и решение

Решим первое уравнение как квадратное относительно $x$ :

2 2 2 D =(5− 3y) − 4(2y − 9y+4)= y + 6y +9

2x= 3y− 5 ±(y+ 3)

Подставим во второе уравнение $x= 2y− 1$ :

3y2− 4y− 4= 0

3y = 2±√4-+3-⋅4

y = 2±-4 3

x= 1±-8 3

Подставим во второе уравнение $x= y− 4$ :

−8y+ 11 =0

y = 11 8

11−-32 x= 8

Значит, у системы есть три решения: $y = 2$ и $x= 3$ , $2 y = −3$ и $7 x= − 3$ , $11 y = 8$ и $21 x= −8$ .

Ответ:

$(3;2),(− 7;− 2),(− 21;11) 3 3 8 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70774

Решите систему уравнений

({ 3y− 2x= √3xy−-2x− 3y+-2 ( 3x2+ 3y2 − 6x− 4y = 4

Источники: Физтех-2022, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишем ОДЗ для первого уравнения, а после этого можем возвести в квадрат. Давайте теперь попробуем перебрать известные нам способы решения. Вот некоторые из них: сложение и вычитание уравнений, решение однородного уравнения, замены различные, решение квадратного уравнения относительно x или y. Какие из них целесообразно здесь применить? Попробуйте сделать это!

Подсказка 2

Попробовали? Скорее всего, заменой ничего не вышло, потому что общих частей особо нет, да и к однородному вряд ли получилось свести. А что если решить первое уравнение, как квадратное относительно одной из переменных? Кажется, что страшное выражение и ничего не выйдет, но не попробуете — не узнаете!

Подсказка 3

Верно, например, после решения квадратного уравнения относительно y в дискриминанте получается полный квадрат, а значит, мы можем выразить y через x. Осталось только подставить каждое из выражений во второе уравнение, найти x и y, и победа! Но не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение при условии $3y− 2x ≥0$ равносильно уравнению

2 (3y− 2x) = 3xy− 2x − 3y+ 2

2 2 4x +(2− 15y)x+ (9y + 3y− 2)= 0

Решая это уравнение как квадратное относительно переменной $x,$ имеем

⌊ x= 3y − 1 D =(2− 15y)2− 16(9y2+3y− 2)= (9y− 6)2 ⇒ ⌈ 3 1 x= 4y+ 2

Подставляем во второе уравнение исходной системы.

Если $x= 3y− 1,$ то

⌊ √-- | y = 4+6-10 6y2− 8y +1= 0⇔ |⌈ 4− √10 y = --6---

Получаем две пары $√-- √-- y = 4+610,x = 2+210$ и $√-- √-- y = 4−610,x= 2−210.$

Если $x= 34y+ 12,$ то

⌊ 2 y =2 3y − 4y− 4= 0⇔ ⌈ y =− 2 3

Также имеем две пары $y =2,x= 2$ и $y = − 2,x= 0. 3$

Из четырёх найденных пар чисел неравенству $3y ≥2x$ удовлетворяют только две из них: $(2;2),(2−√10;4−-√10) . 2 6$

Ответ:

$(2;2),(2−-√10;4−√10) 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#71525

Решите в действительных числах систему уравнений:

(| a+ c= 4 |||{ ac+ b+d =6 | |||( ad+ bc =5 bd= 2

Источники: ОММО-2022, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами система с 4 неизвестными, в которой, если начать выражать всё последовательно, ничего хорошего не выйдет. Давайте немного повспоминаем, где такая конструкция встречается? Возможно, вы этим занимались в алгебре.

Подсказка 2

Ага, если вспомнили, то отлично. Если нет, то ничего страшного. Попробуйте перемножить два приведённых трёхчлена с коэффициентами a, b, c и d и привести подобные слагаемые. Не видите сходств? Какой вывод отсюда можно сделать?

Подсказка 3

Да, нам по сути сказали коэффициенты многочлена 4 степени! Видеть такое вы могли в методе неопределённых коэффициентов как раз для уравнения 4 степени. Теперь вы можете попробовать найти очевидные корни этого многочлена и разложить его на скобки. Теперь осталось понять главное. Для чего вы всё это делали?

Подсказка 4

Точно, для того, чтобы понять, что корни будут единственными. Вы могли и просто так угадать a, b, c и d, но о единственности ничего утверждать не могли. Осталось только сопоставить наши изначальные квадратные трёхчлены с тем, что получилось в итоге, и победа!

Показать ответ и решение

Пусть $x2+ ax+ b$ и $x2 +cx+ d$ — два квадратичных многочлена, коэффициенты которых — искомые корни данной системы. Тогда

( 2 )( 2 ) 4 3 2 x + ax+ b x + cx +d = x + (a +c)x +(ac+b+ d)x +(ad+bc)x +bd=

4 3 2 = x +4x + 6x +5x+ 2

Из делителей свободного коэффициента $2$ находим корни $− 1$ и $− 2$ , тогда можно поделить многочлен на $(x+ 1)(x+ 2)=(x2+ 3x +2):$

x4+ 4x3 +6x2+ 5x+2 =(x2+ 3x+ 2)(x2+ x+ 1),

что возможно только в двух случаях:

{ { x2+ax +b= x2+ 3x+2 x2 +ax+ b= x2+ x+1 x2+cx+ d= x2+ x+ 1 или x2 +cx+ d= x2+3x +2

тогда в первом случае получаем $a= 3,b= 2,c= 1,d =1,$ а во втором — $a= 1,b=1,$ $c= 3,d= 2.$

Ответ:

$(3,2,1,1),(1,1,3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95399

Решите систему уравнений

{ x4+ 7x2y+ 2y3 = 0 4x2+ 27xy+ 2y3 =0

Источники: Межвед - 2021, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что уравнения достаточно похожи) Быть может, их левые части можно записать в общем виде?...

Подсказка 2

Левые части — это функция от некоторой переменной t с коэффициентами, включающими y. Справа стоят нули, значит, мы ищем корни уравнения f(t)=0!

Подсказка 3

Конями этого уравнения являются числа x² и 2x. А что можно сказать про них как про корни квадратного уравнения?

Подсказка 4

С помощью теоремы Виета запишем условия на корни, таким образом свяжем y и x!

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(t)= t2+ 7ty+ 2y3 2$ . При условии выполнения равенств исходной системы её корнями будут $t = x2 1$ и $t =2x 2$ . Если $t1 = t2$ , то $x1 =0,x2 = 2$ . Отсюда найдём $y1 = 0,y2 = −1$ . Если $t1 ⁄= t2$ , то по теореме Виета

3 3 3 t1⋅t2 =2y ⇐⇒ 2x = 2y ⇐ ⇒ x =y.

Подставляя в исходную систему, найдём третье решение $(− 11;− 11). 2 2$

Ответ:

$(0,0),(2,− 1),(− 11,− 11) 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31185

Решите систему

({ ∘ x- ∘-y -7- √y + x = √xy√ +-1; ( x xy+ 78= −y xy.

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перенеся во втором уравнении правую часть налево, а 78 - направо, подумаем, что нужно сделать, чтобы сверху тоже получилось это выражение.

Подсказка 2

Конечно, напрашивается умножить на ху первое уравнение, только нужно рассмотреть два случая: когда 1) x>0 y>0 или 2) x<0 y<0, чтобы верно произвести умножение с корнями

Подсказка 3

Важно подметить, что в 1 случае sqrt(х^2) будет равен х, а во втором этот же корень равен -х. Эти два случая приведут к квадратным уравнениям относительно t = sqrt(xy), к решениям которых мы потом применим обратную замену и найдем ответ.

Показать ответ и решение

Область определения системы распадается на две подобласти: $1) x,y > 0$ и $2) x,y < 0$ .

При умножении первого уравнения на $xy ⁄= 0$ , получаем

∘ x- ∘ y- √-- x⋅(y⋅ y)+ y⋅(x⋅ x)= 7 xy+ xy

В подобласти $(1)$ верно $∘-- √-- y = y2,x = x2$ , то есть мы можем занести под корень и сократить:

{ √-- √-- √-- x xy+ y-xy =7 xy +xy x√xy+ 78= −y√xy

откуда следует, что число $√ -- t= xy$ удовлетворяет квадратному уравнению $t2 +7t+ 78 =0$ , которое решение не имеет.

В подобласти $(2)$ же из-за того, что $∘ -- √ -- y = − y2,x= − x2$ при занесении под корень в левой части появляются минусы перед корнями:

{ √ -- √ -- √ -- − x xy−√y-xy = 7 xy+√ xy; x xy +78= −y xy,

откуда следует, что число $√ -- t = xy$ удовлетворяет квадратному уравнению $2 t +7t− 78 =0$ , решениями которого являются $t1 = −13,t2 = 6$ .

Так как $t> 0$ , то с учетом исходной системы получаем $x⋅y =36,x+y = −13.$ В итоге имеем две пары решений $(− 9;−4),(−4;−9)$ .

Ответ:

$(−9;−4),(−4;−9)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#102368

Решите систему уравнений

{ 3x − y− 3xy = −1; 9x2y2+ 9x2+ y2− 6xy =13.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче стоит поработать с более простым уравнением — первым. Попробуйте его преобразовать!

Подсказка 2

Кажется, вы уже смогли разложить первое уравнение на скобки. Если нет, то обязательно разложите. Кажется, теперь задача свелась к подстановке известного значения во второе равенство и решение квадратного уравнения)

Показать ответ и решение

{ (1− y)(3x+1)= 0 9x2y2+ 9x2+y2− 6xy = 13

⌊ { 1− y = 0 || 9x2y2+9x2+ y2− 6xy = 13 ||⌈ { 3x+1 =0 9x2y2+9x2+ y2− 6xy = 13

Решим каждую систему совокупности:

{ { y =1 x =− 13 9x2 +9x2+ 1− 6x =13 или 9(− 13)2y2+ 9(− 13)2+ y2+ 6y13 = 13

( ( |{ [ y = 1 |{ [x =− 13 | x= − 23 или | y =3 ( x = 1 ( y =2

Ответ:

$(− 2;1),(1;1),(− 1;−3),(− 1;2) 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#51846

Решить систему уравнений

{ (x− 2)(x +3)= y(y − 5); log (2 − y)=-x. x y2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В системах уравнений, где есть какая-то кракозябра и нормальное уравнение (а это почти каждая задача с физтеха) надо сначала поработать с нормальным уравнением, как-то его попреобразовывать, чтобы оно дало нам некоторую связь на переменные, которую мы могли бы использовать для упрощения кракозябры. Посмотрим на первое уравнение, так как именно оно претендует на нормальное. Попробуйте как-то разложить данное выражение (после переноса всего в одну часть, разумеется).

Подсказка 2

Подумаем, какими теоретически могут быть скобки. У нас точно в каждой должно быть x и y, притом понятно, с какими коэффициентами. Значит, остаётся подобрать свободные коэффициенты, чтобы у нас по итогу вышло нужное количество x и y. После этого у нас будет два выражения для y через х, при том это будут линейные выражения. Останется только проверить, подходят ли они под ОДЗ, которое получается из логарифма и после подстановки. Но остается вопрос: все ли пары (x,y), которые будут таким образом получены, будут подходить под систему и ограничения, или надо проверить их на выполнение ОДЗ? Попробуйте подумать об этом в терминах достаточных и необходимых условий, а не просто подставить их в систему.

Показать ответ и решение

Первое уравнение можно записать так:

2 2 x − y + x+ 5y − 6 =0 ⇐⇒ (x+ y− 2)(x− y +3)= 0, откуда

x =y − 3 (1)

x =2 − y (2)

Из второго уравнения системы следует, что

2− y > 0,x> 0,x⁄= 1 (3)

a) Если справедливо равенство (2), то из второго уравнения системы находим $x =y2,$ откуда, используя равенство (2), получаем $2− y = y2$ или $(y− 1)(y+ 2)=0.$ Пусть $y =1,$ тогда $x= 1,$ и не выполняются условия (3). Пусть $y = −2,$ тогда $x= 4$ и $(4;−2)$ — peшение данной системы.

б) Если справедливо равенство (1) и условия (3), то $y > 3$ и $y < 2,$ что невозможно.

Ответ:

$(4;− 2)$