Тема . Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74613

Для любых положительных чисел a  и b  докажите неравенства

(a) (a2+ b2)(a3+ b3)≤ 2(a5 +b5);

(b) (a2+ b2)(a3+ b3)(a6+b6)≤ 4(a11+b11).

Показать доказательство

(a) Раскроем скобочки и приведём подобные:

0 ≤a5+ b5− a3b2− a2b3

Разложим правую часть на множители:

    2   2 3   3
0≤ (a − b)(a − b )

Нетрудно видеть, что скобочки в правой части имеют одинаковые знаки, то есть их произведение действительно неотрицательно.

(b) Используем предыдущий пункт, заменим  2   2  3  3
(a + b )(a +b )  на   5  5
2(a + b).  Поделим на 2  и получим такое неравенство:

(a5+ b5)(a6+b6)≤ 2(a11+b11)

Далее действуем так же, как в предыдущем пункте:

0≤ a11+ b11− a6b5 − a5b6

0≤ (a6− b6)(a5 − b5)

По аналогичным рассуждениям получаем требуемое.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!