Тема . Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91240

Докажите, что для любых вещественных x  , y  , z  и положительных чисел a  , b  и c  имеют место неравенства

(a) x2+ y2+ z2 ≥xy+ yz+ zx  ;

(b) (ab+ bc+ ca)2 ≥ 3abc(a+ b+c)  ;

(c) ab + bc+ ca≥ a+ b+ c
 c   a   b  .

Показать доказательство
(a)

Используя неравенство о средних, знаем:

1    1
2x2+ 2y2 ≥ xy

1 2  1 2
2x + 2z ≥ xz

1y2+ 1z2 ≥ yz
2    2

Сложим все три неравенства и получим искомое:  2   2   2
x  +y + z ≥xy +xz+ yx  .

(b)

Раскроем скобки, приведём подобные. Тогда исходное неравенство выглядит, как  22   22   22   2    2    2
ab + bc + a c≥ a bc +b ac+c ab  .

Сделаем замену x= ab,y = bc,z =ac  . Тогда мы получили нерввенство x2+ y2+z2 ≥xz+ xy+ yz  , которе уже доказали в пункте (a).

(c)

Так как переменные a,b и c  положительные, то домножим обе части неравенство на abc  , отметим, что этот переход равносильный. Тогда мы получили неравенство a2b2+ a2c2+ b2c2 ≥ a2bc+ b2ac+ c2ab  из пункта (b)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!