Отрезки касательных и секущих
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На гипотенузе 
прямоугольного треугольника 
выбраны точки 
и 
так, что 
Внутри
треугольника 
выбрана точка 
, для которой 
а 
Найдите 
если известно, что
Источники:
Подсказка 1
Пусть AC = b, AB = c, BC = a, p = (a + b + c) / 2, r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Выразите PQ в этих обозначениях.
Подсказка 2
PQ = BP - BQ. Продолжите преобразования.
Подсказка 3
BP - BQ = AB - (BC - CQ) = AB - BC + AC = c - a + b = 2r.
Подсказка 4
Пусть B — точка касания вписанной окружности с гипотенузой BC. Попробуйте выразить BG.
Подсказка 5
Воспользуйтесь фактом о том, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Подсказка 6
Выразите PG.
Подсказка 7
Заметьте, что G — середина PQ.
Подсказка 8
Каким является треугольник DPQ? Что можно сказать о DG?
Подсказка 9
Треугольник DPQ — прямоугольный и равнобедренный, тогда DG = PQ / 2 = r. Что можно сказать о точке D?
Подсказка 10
D — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Вспомните его свойства.
Пусть 
— радиус окружности, вписанной в треугольник 
Тогда
Пусть 
— точка касания вписанной окружности с гипотенузой 
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки,
равны, следовательно,
Тогда
Значит, 
— середина 
Треугольник 
— прямоугольный и равнобедренный, следовательно,
Это означает, что 
— центр вписанной в треугольник 
окружности, иначе говоря, точка пересечения биссектрис.
Значит,
Поэтому
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
