Отрезки касательных и секущих
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапецию 
вписана окружность, касающаяся боковой стороны 
в точке 
. Найдите площадь трапеции, если
и 
.
Источники:
Подсказка 1
Для начала подумаем, а какие данные нам нужны, чтобы найти площадь трапеции? Быть может, мы можем найти какие-то отрезки, если правильно воспользоваться информацией о касательных к вписанной окружности? Возможно, какая-то новая информация может показаться нам лишней, но условие кажется очень маленьким, поэтому любые новые знания нам нужны) Как же всё-таки воспользоваться длинами DK, CD и AK?
Подсказка 2
Отрезки касательных к одной окружности, проведенные из одной точки, равны! Это значит, например, что можно как-то обозначить все точки касаний окружности и сторон трапеции и найти почти все отрезки, на которые точки касания делят стороны) Теперь у нас есть одно из оснований, часть другого, нужна высота... Что же на нашем рисунке может намекать на перпендикулярность(связанное с окружностью)? Что для этого нужно отметить?
Подсказка 3
Вспоминаем, что некоторые радиусы вписанной окружности перпендикулярны сторонам. Тогда отметим у окружности центр I и опустим радиусы на каждую из сторон. Понятно, что радиусы на основания образуют высоту, т.е. теперь достаточно найти радиус. Для этого нам понадобится найти IK (перпендикуляр IK опущен на сторону, у которой мы знаем длины обоих отрезков). Какой факт о DI и AI можно использовать?
Подсказка 4
DI перпендикулярен AI! Тогда в прямоугольном треугольнике DIA мы можем найти высоту IK (из различных подобий), т.е. радиус. Аналогично можно поступить с прямоугольным треугольником CIB, тогда мы найдем еще один отрезок касательной, т.е. нам уже известна высота (2 радиуса) и оба основания, а, значит, и высота) Главное не ошибиться в счёте!
Первое решение.
Пусть точки касания с 
и 
будут 
и 
соответственно. Из равенства отрезков касательных 
и
, а также 
Как известно, 
, как биссектрисы углов трапеции, но тогда 
— высота прямоугольного треугольника и равна
. Аналогично из прямоугольного 
имеем 
. Откуда легко посчитать, что
.
Второе решение.
Пусть 
— точка касания окружности и стороны 
Так как 
и 
— отрезки касательных, то они равны. Значит, 
Пусть 
— точка касания окружности и стороны 
Аналогично 
Пусть 
— точка касания окружности и стороны 
Проведем диаметр 
и опустим высоту 
на сторону
(как отрезки касательных), следовательно, 
и 
Тогда по теореме
Пифагора
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на сторону 
он будет равен 
Обозначим за 
отрезок 
тогда
По теореме Пифагора
Тогда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
