Отрезки касательных и секущих
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне 
треугольника 
выбрана произвольная точка 
(a) В треугольники 
и 
вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная, отличная от 
Эта
касательная пересекает отрезок 
в точке 
Докажите, что длина отрезка 
не зависит от выбора точки 
и выразите его
длину через стороны треугольника 
(b) Вневписанные окружности треугольников 
и 
касаются отрезка 
и к ним проведена общая внешняя касательная,
отличная от 
Эта касательная пересекает луч 
в точке 
Докажите, что длина отрезка 
не зависит от выбора точки 
и
выразите его длину через стороны треугольника 
Подсказка 1, пункт а
Давайте попробуем выразить искомый отрезок через отрезки касательных к окружностям. Как мы можем это сделать? Что такое BK на чертеже?
Подсказка 2, пункт а
Распишем BK как разность отрезков касательных: с одной стороны это разность двух касательных к одной окружности, а с другой стороны — разность двух касательных к другой окружности. Тогда как мы можем выразить эти касательные через длины сторон треугольника?
Подсказка 3, пункт а
Мы можем выразить касательные, почти как полусумма периметра, но остаётся одна неизвестная в виде общей внешней касательной к обеим окружностям. Но если мы распишем, чему равно 2BK из предыдущей подсказки, эта неизвестная пропадёт. Почему?
Подсказка 4, пункт а
Так происходит, так как в разности (которую мы расписали для отрезка BK) с минусом идёт верхняя общая внешняя касательная к окружностям, равная нижней общей касательной. Осталось только это всё записать!
Подсказка 1, пункт б
Для начала давайте сделаем правильный чертёж, отметим точки и поймём, что нам надо доказать.
Подсказка 2, пункт б
Давайте попробуем выразить искомый отрезок через отрезки касательных к окружностям. Как мы можем это сделать? Что такое BL на чертеже?
Подсказка 3, пункт б
Распишем BL как разность отрезков касательных: с одной стороны это разность двух касательных к одной окружности, а с другой стороны — разность двух касательных к другой окружности. Тогда как мы можем выразить эти касательные через длины сторон треугольника?
Подсказка 4, пункт б
Мы можем выразить касательные, почти как полусумма периметра, но остаётся одна неизвестная в виде общей внешней касательной к обеим окружностям. Но если мы распишем, чему равно 2BL из предыдущей подсказки, эта неизвестная пропадёт… Почему?
Подсказка 5, пункт б
Так происходит, так как в разности (которую мы расписали для отрезка BL) с минусом идёт верхняя общая внешняя касательная к окружностям, равная нижней общей касательной. Осталось только это всё записать!
(a) Пусть окружность, вписанная в треугольник 
касается проведённой общей внешней касательной – в точке 
в точке
стороны 
— в точке 
прямой 
– в точке 
а окружность, вписанная в треугольник 
касается проведённой
общей внешней касательной — в точке 
отрезка 
в 
стороны 
— в точке 
прямой 
— в точке 
Тогда
то есть 
Итак, длина 
выражена через стороны треугольника, а потому действительно не зависит от
выбора точки 
.png)
(b) Пусть окружность, вписанная в треугольник 
касается проведённой общей внешней касательной — в точке 
прямой
в точке 
прямой 
— в точке 
прямой 
— в точке 
а окружность, вписанная в треугольник 
касается
проведённой общей внешней касательной — в точке 
прямой 
в 
прямой 
— в точке 
прямой 
— в точке 
Тогда
то есть 
Итак, длина 
выражена через стороны треугольника, а потому действительно не зависит от
выбора точки 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
