Отрезки касательных и секущих
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны непересекающиеся окружности 
и 
и их общие внешние касательные 
и 
На 
между точками касания отметили точку
а на 
— точки 
и 
так, что 
и 
— касательные к 
и 
Пусть 
и 
— центры окружностей 
и 
а 
— точка касания вневписаной окружности треугольника 
со стороной 
Докажите, что середина отрезка 
равноудалена от
точек 
и 
Подсказка 1
Отметим середину O₁O₂ — точка Р. Для того, чтобы доказать равенство отрезков давайте докажем равенство треугольников, у которых искомые отрезки будут соответствующими элементами. По чертежу, как вы думаете, какие треугольники будут равны?
Подсказка 2
Давайте докажем равенство треугольников PA₁A₂ и PBC. Для этого покажем равенство трёх сторон. Но как это сделать…?
Подсказка 3
Для начала можно заметить прямоугольную равнобедренную трапецию А₁А₂С₁В₁. Что такое точка P для неё?
Подсказка 4
На самом деле Р — центр описанной окружности этой трапеции. Докажите это, опустив перпендикуляр из Р на А₁А₂.
Подсказка 5
Теперь совсем несложно доказать равенство длин сторон треугольников PA₁A₂ и PBC. Осталось доказать, что РА и РК — соответственные элементы в данных треугольниках!
Подсказка 6
Это мы можем доказать, посчитав, чему равны длины отрезков АА₂ и В₁К через различные отрезки касательных (они должны оказаться равны!).
Пусть окружность 
касается прямых 
и 
в точках соответственно 
и 
а окружность 
— в точках соответственно
и 
— точка касания окружности 
с отрезком 
— точка касания окружности 
с отрезком 
Тогда
Отсюда
.png)
Поэтому 
Пусть 
— середина 
Тогда перпендикуляр 
опущенный из точки 
на 
— средняя линия
прямоугольной трапеции 
Следовательно, 
— серединный перпендикуляр к стороне 
равнобедренной трапеции
значит, 
— центр описанной окружности этой трапеции. Поэтому 
Равнобедренные треугольники
и 
равны по трём сторонам, а т.к. 
то 
и 
— соответствующие отрезки этих равных треугольников.
Следовательно, 
Что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
