Подобные треугольники и теорема Фалеса

Первое решение.

а) Так как по условию то

По условию Отметим точку — центр квадрата. Тогда Поэтому

В силу того, что углы от 0 до 180 градусов невключительно, из следует дающее вписанность.

б) Пусть точка — точка пересечения и . Из вписанности имеем так что искомое расстояние

Из подобия треугольников и

Из условия задачи

В итоге получаем

Второе решение.

a) Заметим, что если ввести систему координат с центром в точке , а ось пустить по лучу , ось - по , а , то мы легко найдем координаты всех точек, что нам даны. Тогда мы можем найти центр описанной окружности прямоугольного треугольника - середину гипотенузы, тогда . Находим расстояние между точками , равное , и убеждаемся, что оно равно , то есть действительно лежат на одной окружности.

б) В нашей системе координат прямая задаётся уравнением , а прямая : , откуда сразу находим, что точка пересечения и имеет координаты . Так как прямая задаётся (по двум точкам) уравнением: , вспоминаем формулу расстояния от точки до прямой и записываем ответ, подставляя